Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу 		 

На первую страницу
Физические основы строения и эволюции звезд
<< 1.2 Векторное поле ускорений ... | Оглавление | 1.4 Энергия гравитационного взаимодействия >>

1.3 Сферически-симметричные поля тяготения, полная и текущая массы звезд, эйлеровы и лагранжевы координаты


Рассмотрим тонкий сферический слой с радиусом $ r$, толщиной $ \delta \ll r$ и поверхностной плотностью $ \mu$ [г/см$ ^2$]. Найдем силу притяжения со стороны сферы, которая действует на пробную частицу единичной массы, помещенную в какой-либо точке $ A$ внутри сферы. Из рис.2 наглядно видно, что силы притяжения двух элементов масс, вырезанных на сфере телесным углом $ d \Omega$, одинаковы по величине и противоположны по направлению. Более близкий к точке $ A$ элемент $ dm_1$ имеет меньшую массу, и сила притяжения, создаваемая им в точке $ A$,

$\displaystyle dF_1=G{dm_1 \over r_1^2}={G \mu dS_1 \over r_1^2}={G\;\mu\;d\Omega \over \cos\;\theta}\;. $

Так как правая часть этого выражения зависит лишь от величины телесного угла $ d \Omega$ и $ \cos\; \theta$, которые одинаковы для $ dm_1$ и $ dm_2$, то со стороны $ dm_2$ действует равная по величине сила $ dF_2=-dF_1$. Таким образом, любая пара участков сферы внутри двойного конуса $ d \Omega$ дает полную силу, равную нулю, и пробная частица внутри сферы не испытывает силы и ускорения. Этот результат остается в силе и для сферы конечной толщины ( $ \delta \sim r$).

\begin{figure*}\centerline{\hss \epsfysize=0.35\textwidth\epsfbox{fig/f02.ai} ... ... \vbox{\hsize=0.45\textwidth} \hss \vbox{\hsize=0.45\textwidth} }\end{figure*}
Рис. 2.Рис. 3.

Теперь расположим нашу пробную частицу вне сферы (рис. 3). Сила, действующая на частицу в этом случае, равна

$\displaystyle F=-{GM \over r^2}$ (1.2)

и направлена к центру сферы. Здесь $ M$ -- полная масса сферической оболочки, $ r$ -- расстояние от $ A$ до центра сферы. Направленность к центру сферы очевидна из симметрии задачи, а то, что действие такое же, как от точечной массы, помещенной в центре, можно получить простым интегрированием.

Рассмотрим звезду радиуса $ R$ c переменной плотностью $ \rho (r)$ и полной массой

$\displaystyle M=4\pi \;\int\limits_0^R\rho (r)\;r^2dr. $

Полная сила, действующая на пробную частицу при $ r>R$ равна

$\displaystyle F=-{GM \over r^2}\;, $

но внутри звезды ($ r<R$)

$\displaystyle F=-{Gm(r) \over r^2}\;. $

Величину $ m(r)=4\pi \int\limits_0^r\rho (q)q^2 dq$ обычно называют текущей массой. Величина $ m(r)$ естественно появляется при рассмотрении равновесия звезд.

Решение нестационарных задач сжатия звезд, как и любых гидродинамических задач, можно проводить двумя способами. Выбирая в качестве независимых переменных координату $ \vec r$ и время $ t$, можно рассматривать изменения физических величин (плотности, давления и т.д.) в какой-либо фиксированной точке пространства (эйлеров подход). Но часто бывает удобно следить за поведением выбранных заранее частиц вещества (лагранжев подход), в этом случае независимыми переменными являются начальные координаты $ r_0(t_0)$ и время $ t$, а координата $ \vec r(t)$ является функцией $ r_0$. Лагранжев подход чаще всего осуществляется в задачах, обладающих какой-либо симметрией движений, например, при сферически-симметричном расширении (или сжатии) звезды. Зададим в начальный момент в качестве лагранжевой координаты расстояние до центра звезды $ r_0$. Сфера с радиусом $ r_0$ содержит вполне определенную часть массы звезды $ m(r_0)$, величина которой при сферических движениях не меняется со временем. В этом случае текущая масса $ m(r)$ может быть выбрана в качестве независимой (лагранжевой) координаты.

Рассмотрим несколько примеров:

\begin{wrapfigure}{r}{0.5\textwidth} \epsfxsize =0.45\textwidth \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{fig/f04.ai}\hss} \end{wrapfigure}
Рис. 4.

1. Шар радиуса $ R$ имеет постоянную плотность $ \rho=$ const. Очевидно, что решение уравнения (1.1) имеет вид

$\displaystyle \varphi=kr^2+$const$\displaystyle . $

Подставляя это решение в уравнение (1.1), получим

$\displaystyle \Delta\varphi=6k=4\pi G \rho $

и найдем, что

$\displaystyle \varphi={2\pi \over 3}G\;\rho\;r^2+$const$\displaystyle \;(r\le R). $

Снаружи, при $ r>R$, имеем $ \varphi=-GM/r$. Значение const находим из условия непрерывности потенциала при $ r=R$ (см. рис. 4) (производные при этом сшиваются автоматически):

$\displaystyle \left.-{GM \over r}\right\vert _R=\left.{2\pi \over 3}G\;\rho\;r^2 \right\vert _R +$const$\displaystyle . $

Учтем, что $ M={4\pi \over 3}\rho R^3$, и получим

$\displaystyle \varphi={2\pi \over 3}G\;\rho\;r^2-2\pi \;G \;\rho\;R^2=-{GM \over R}\left( {3\over 2}-{1\over 2}{r^2\over R^2}\right)\quad($ при$\displaystyle ~r\le R). $

2. Теперь предположим, что

$\displaystyle \rho(r)=\mu \delta\;(r-R) $

( $ \delta(r-R)$ -- дельта-функция Дирака), т.е. $ \rho=0$ при $ r<R$ и $ r>R$, а масса

$\displaystyle M=4\pi\;\int\limits_0^\infty \rho(r)r^2dr=4\pi \mu R^2. $

Очевидно, что $ \mu$ имеет смысл поверхностной плотности (размерность $ [\mu]=$г/см$ ^2$). Поскольку $ a=d \varphi/ dr=0$ внутри сферы $ R$, ясно, что $ \varphi =$ const при $ r<R$. Снаружи по-прежнему $ \varphi=-GM/r$. Сшивая потенциал при $ r=R$, получим (рис. 5)

\begin{displaymath} \varphi=\left\{ \begin{array}{ll} -\frac{GM}{R} \quad & (r\... ... & \cr -\frac{GM}{r} \quad & (r\ge R). \cr \end{array}\right. \end{displaymath}

\begin{figure*}\centerline{ \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfxsize=0.45\textwidth... ... \vbox{\hsize=0.45\textwidth} \hss \vbox{\hsize=0.45\textwidth} }\end{figure*}
Рис. 5.Рис. 6.

Мы видим, что в этом случае $ d \varphi/ dr$ имеет разрыв (рис. 6). Можно показать, что этот результат совершенно общий: конечная масса, сосредоточенная в бесконечно тонком слое с конечной поверхностью, дает разрыв нормальной производной потенциала:

$\displaystyle \left.{d\varphi \over dn}\right\vert _1-\left.{d\varphi \over dn}\right\vert _2=4\pi G \mu. $

3. Дано: $ \varphi=-GM/r$. Чему равно $ \Delta\varphi$? Непосредственное вычисление производных дает нуль везде, за исключением точки $ r=0$. В самом деле

$\displaystyle {1\over r}={1\over \sqrt{x^2+y^2+z^2}},\quad{\partial^2 r^{-1} \over \partial x^2}= {2x^2-y^2-z^2 \over (x^2+y^2+z^2)^{5/2}}, $

и легко убедимся, что $ \Delta\varphi=0$, кроме $ x=y=z=0$, где имеем неопределенность 0/0.

Еще проще в данном случае вычисление в сферических координатах. Для потенциала, не зависящего от угла $ \Delta \varphi={1 \over r^2} {\partial \over \partial r}r^2{\partial\varphi\over\partial r}$, и подставляя $ \varphi=1/r$, снова получим $ \Delta\varphi=0$. Однако неправильно было бы отвечать, что везде $ \Delta(1/r)=0$. Такой ответ не верен, так как поток $ d \varphi/ dr$ через любую поверхность, окружающую начало координат, отличен от нуля и равен $ 4\pi GM$. Правильный ответ:

$\displaystyle \Delta\varphi=4\pi\;Gm\delta_3(\vec r). $

Здесь $ \delta_3(\vec r)$ -- трехмерная дельта-функция Дирака. Таким образом, отвечая, что $ \Delta\varphi=0$, нужно добавить: везде, кроме начала координат, где вторые производные от $ \varphi$ стремятся к бесконечности.

4. Рассмотрим теперь общий случай сферически-симметричного распределения плотности $ \rho (r)$. Определим, как раньше, текущую массу

$\displaystyle m(r)=4\pi \int\limits_0^r\;\rho (q)q^2dq\,. $

Интегрируя уравнение Пуассона, последовательно получим

\begin{displaymath} \begin{array}{ll} \varphi(r)&=\int\limits_\infty^r {d\;\varp... ...over r}-G\int\limits_r^\infty {dm(q)\over q}\;. \cr \end{array}\end{displaymath}

Cмысл полученного выражения для $ \varphi$ легко понять. Первый член -- это потенциал сферически-симметричной массы, расположенной внутри сферы радиуса $ r$. Второй член является суммой потенциалов от внешних слоев.

C учетом соотношения для $ m(r)$ запишем выражение для потенциала в виде

$\displaystyle \varphi(r)=-4\pi\;G\left({1\over r}\int\limits_0^r \rho(q)q^2dq+\int\limits_r^R \rho(q)qdq\right). $

В последнем интеграле мы заменили верхний предел $ \infty$ на $ R$, предполагая, что при $ r>R$ плотность $ \rho=0$.



<< 1.2 Векторное поле ускорений ... | Оглавление | 1.4 Энергия гравитационного взаимодействия >>

Публикации с ключевыми словами: Эволюция звезд - внутреннее строение звезд - термоядерные реакции - физические процессы
Публикации со словами: Эволюция звезд - внутреннее строение звезд - термоядерные реакции - физические процессы
См. также:
Все публикации на ту же тему >>

Обсудить эту публикацию
Оценка: 3.0 [голосов: 120]
 
О рейтинге
Версия для печати Распечатать

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце

Астронет | Научная сеть | ГАИШ МГУ | Поиск по МГУ | О проекте | Авторам

Комментарии, вопросы? Пишите: info@astronet.ru или сюда

Rambler's Top100 Яндекс цитирования