Размерности и подобие астрофизических величин
<< § 5.3 Турбулентность и конвекция | Оглавление | § 6.1 Уравнения автомодельного движения космического газа >>
§ 5.4 Циркуляция в атмосферах планет
Хотя основное внимание в этой книге уделяется звездам, приведем результаты исследования циркуляции в атмосферах планет и в атмосфере Солнца, проведенного Г. С. Голицыным методом анализа размерностей и теории подобия [27, 28].
Поясним постановку задачи. Поток лучистой энергии, идущей от Солнца, нагревает атмосферу планеты неравномерно - больше всего получает тепла "подсолнечная" область. В результате в атмосфере планеты возникают движения - циркуляция, свойства которой зависят и от состояния вращения атмосферы. Требуется определить величину характерной энергии этой циркуляции. Перечислим основные параметры этой задачи. Прежде всего - это общие характеристики планеты: ее радиус R, ускорение силы тяжести на поверхности g и угловая скорость вращения Ω;;;. Существенным определяющим параметром является поток тепловой энергии, получаемой 1 см² поверхности планеты от Солнца, т. е. величина солнечной постоянной, обозначаемая в дальнейшем через q. С другой стороны, нагрев атмосферы планеты должен характеризоваться теплоемкостью ее вещества сp = γℜ/(γ - 1)μ и ее собственным излучением, определяемым постоянной закона Стефана - Больцмана.
В дальнейшем удобнее вместо параметра q использовать величину некоторой эквивалентной температуры T0, определенной формулой
|
(5.161) |
Наконец, надо задать массу столба атмосферы планеты с поперечным сечением 1 см² , обозначаемую через М , и в число параметров включить искомую величину кинетической энергии циркуляции атмосферы Es, также отнесенную к данному столбу.
Поскольку определяющих параметров много, составим матрицу размерности:
![$$
\begin{matrix}
\, & [R] & [g] & [\Omega] & [T_0] & [c_p] & [\sigma] & [M_s] & [E_s] \\
\mbox{г}&0&0&0&0&0&1&1&1 \\
\mbox{см}&1&1&0&0&2&0&-2&0 \\
\mbox{сек}&0&-2&-1&0&-2&-3&0&-2 \\
\mbox{град}&0&0&0&1&-1&-4&0&0
\end{matrix}
$$](https://images.astronet.ru/pubd/2013/03/01/0001281314/tex/formula328.gif)
|
Ранг матрицы равен четырем и, следовательно, есть четыре независимых безразмерных комплекса. Г. С. Голицын выбирает их в таком виде:
|
(5.162) |
|
(5.163) |
|
(5.164) |
|
(5.165) |
В таблице 9 даны численные оценки величин Π1, Π2 и Π3.
| Планета | Π1 | Π2 | Π3 |
| Венера | 8 ⋅ 10-4 | 8 ⋅ 10-3 | 10-5 |
| Земля | 10-3 | 1,5 | 10-3 |
| Марс | 3 ⋅ 10-3 | 1 | 3 ⋅ 10-2 |
| Юпитер | 2 ⋅ 10-4 | 16 | 10-4 |
| Сатурн | 5 ⋅ 10-4 | 15 | 10-4 |
| Уран | 9 ⋅ 10-4 | 7 | 10-5 |
| Нептун | 5 ⋅ 10-4 | 6 | 10-5 |
| Солнце | 0,1 | 0,14 | 1 |
Физический смысл комплексов (5.162) - (5.165) легко понять. Комплекс (5.162) есть отношение эквивалентной высоты атмосферы к радиусу планеты; очевидно, что эта величина всегда мала. Второй комплекс (5.163) определяет отношение линейной скорости вращения планеты (на экваторе) к скорости звука в атмосфере, пропорциональной (cpT0)½. Иными словами, этот комплекс есть нечто вроде числа Маха, но не для движений газа в атмосфере, а для переноса всей атмосферы при вращении. Величина Π2 может быть и не малой, как это и следует из данных таблицы. Разумеется, случай Π2 ≳ 1 не вызывает сверхзвуковых движений в атмосфере планеты. По-прежнему скорости движения газа в атмосфере по отношению к ее поверхности остаются дозвуковыми, но тем не менее Π2 есть один из двух основных безразмерных комплексов циркуляции в атмосфере планеты.
Комплекс (5.164) можно представить в виде
|
(5.166) |
Здесь R/(cpT0)½ есть время прохождения звука через всю атмосферу планеты; иными словами, это есть время релаксаций возмущения в "глобальном порядке". Величина, MscpT0 есть теплосодержание единичного столба в атмосфере, и поэтому Π3 есть отношение количества энергии, полученной от Солнца за время релаксации (или излученной за то же время), к полному количеству тепловой энергии в атмосфере. Величина Π3 как бы характеризует тепловую "инертность" атмосферы.
Значения безразмерного комплекса Π4 в таблице не приведены - мы не знаем кинетической энергии циркуляции газа в атмосферах планет. Но метод анализа размерностей позволяет сделать следующий вывод. Кинетическая энергия циркуляции в атмосферах не слишком быстро вращающихся планет, таких, у которых Π2 ≪ 1, наряду с Π1 ≪ 1 и Π3 ≪ 1, может быть оценена из условия Π4 ≈ const, т. е.
|
(5.167) |
где vc - скорость циркуляционных движений. Формула (5.167) приближенно определяет энергию циркуляции и в случае, когда Π2 ≈ 1, как показывает сравнение этой оценки с наблюдательными и расчетными данными для атмосферы Земли и Марса.
Если принять Π4 = 1 и вычислить по (5.167) полную энергию циркуляции в атмосфере (т. е. величину 4πR³Es), тогда для Земли получается значение порядка 3 ⋅ 1027 эрг, а для Марса - 2 ⋅ 1027 эрг. Наблюдаемые на Земле значения этой величины в 2-3 раза больше, а расчетные значения для Марса близки к этой оценке. Теоретическая оценка для Юпитера 4πR²Es ≳ 2 ⋅ 1031 эрг.
Для быстровращающихся планет (Π2 ≫ 1) соотношение (5.167) уже, конечно, несправедливо. При большом Π2 мы не можем считать Π4 хотя бы приближенно постоянной величиной. Чтобы получить какие-нибудь данные из метода анализа размерностей в этом случае, учтем, что для быстровращающихся планет параметр q (а следовательно, и T0) имеет меньшее значение, чем параметры, связанные с вращением. Опустим в наборе определяющих параметров q и T0, а также параметры Ms и g, учитывая, что согласно данным таблицы они приводят к безразмерным комплексам, малым по своей величине. Остается четыре определяющих параметра: Ω;;;, cp4σ-1, R и Es, из которых составляется один безразмерный комплекс
|
(5.168) |
Следовательно, считая Π5 ≈ const, мы получаем, что энергия циркуляции быстровращающихся планет, таких, как Юпитер и Сатурн, очень резко (как Ω;;;7) зависит от угловой скорости вращения.
Наблюдательные данные здесь неопределенные, и трудно судить, насколько эта зависимость осуществляется в действительности. За подробностями мы отсылаем читателя к работам Г. С. Голицына.
Эти же соотношения были применены Г. С. Голицыным к анализу циркуляции в атмосфере Солнца [28]. Здесь для q принята величина потока энергии, идущей из недр Солнца. Численные значения безразмерного комплекса даны в той же таблице. Подобная циркуляция на Солнце связывается с различием угловых скоростей вращения приполярных и экваториальных областей. Глубина зоны циркуляции оказалась порядка глубины конвективной зоны на Солнце. Расчетная величина энергии этой циркуляции 4πR²Es ≈ 1036 эрг.
<< § 5.3 Турбулентность и конвекция | Оглавление | § 6.1 Уравнения автомодельного движения космического газа >>
