Астронет > Размерности и подобие астрофизических величин

по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод по каталогу

Размерности и подобие астрофизических величин << § 5.2 Вращение и магнитные поля звезд | Оглавление | § 5.4 Циркуляция в атмосферах планет >>

§ 5.3 Турбулентность и конвекция

В физике звезд большую роль играет явление конвекции. Мы уже видели в предыдущей главе, что конвективный перенос энергии существен как в горячих звездах (конвективные ядра), так и в холодных (конвективные зоны вблизи поверхности). Конвективные движения вблизи поверхности звезд генерируют звуковые волны, нагревающие самые верхние слои атмосферы. Таким образом создаются хромосфера и корона Солнца и, по существу, конвекция находится в основе всего многообразия солнечных явлений.

К сожалению, явление звездной конвекции еще далеко от более или менее полного теоретического объяснения. Дело в том, что звездная конвекция в основном имеет турбулентный характер, а теория развита преимущественно для случая ламинарной конвекции. Тем не менее удалось получить много интересных результатов. Как в теории турбулентности, так и в теории конвекции методы анализа размерностей и теория подобия играют очень большую роль. Поэтому кажется уместным дать изложение тех результатов теории конвекции и турбулентности, которые были получены методом анализа размерностей или теории подобия и которые могут найти или уже нашли себе применение в физике звезд и межзвездной среды. Сначала рассмотрим закономерности турбулентности в общем виде, не специализируя причин, которые ее вызывают.

Как известно, турбулентностью называется такое состояние среды, при котором возбуждены движения разных масштабов, причем имеет место перекачка энергии между этими движениями. В основе явления турбулентности лежит стремление энергии перераспределиться по большому числу степеней свободы. Допустим, что в некоторой среде было возбуждено движение вещества большого масштаба. Если нет взаимодействия с движениями других масштабов, то энергия этих крупномасштабных движений затухает из-за диссипативных процессов, сохраняя свой характерный масштаб. Но если движения нелинейные, то энергия от движений крупных масштабов переходит к движениям меньших масштабов, где она и диссипирует в тепловую энергию.

Различают два вида турбулентности - вихревую и акустическую. В вихревой турбулентности, как показывает само название, движение вещества имеет характер вихрей различного масштаба. Иными словами, в движениях всех масштабов

$rot v \ne 0.$ (5.82)

Можно ввести характерный размер вихря l (его диаметр!) и соответствующую скорость вихревого движения v_l. Часто вместо масштаба l вводят понятие о волновом числе вихря k, которое определяется так:

$k = \frac{2\pi}{l}.$ (5.83)

В акустической турбулентности движения имеют характер волн, т. е. это движения потенциального типа. В строго акустической турбулентности

$rot v = 0.$ (5.84)

Движение вещества характеризуется длиной волн или волновыми числами, скоростью распространения этих волн, которую мы будем обозначать через v_s, а также скоростью движения вещества, которую будем обозначать через v_k. Если волны имеют линейный характер (обычно при v_k≪v_s), то взаимодействие между волнами разных масштабов несущественно и акустической турбулентности не возникает. Однако при большой амплитуде волн (v_k не слишком мало по сравнению со скоростью звука) взаимодействие между волнами разных масштабов оказывается существенным и энергия перекачивается от волн одних масштабов к волнам с другими масштабами.

Основной характеристикой турбулентности является се спектральная функция - распределение энергии по различным масштабам движения или, что одно и то же, зависимость скорости движения от масштаба. Именно для определения этих зависимостей и можно использовать метод анализа размерностей.

В вихревой турбулентности имеет место хорошо известный спектр Колмогорова. Строго говоря, этот спектр получен для частного случая изотропной и однородной турбулентности несжимаемой жидкости. Но многочисленные эксперименты показали его универсальность и применимость к условиям, весьма далеким, от однородности и изотропности.

Спектр Колмогорова основан на предположении, что перекачка энергии между вихрями различных масштабов определяется только одним параметром ε - потоком энергии через всю иерархию вихрей, от самых больших к самым малым. Если считать, что энергия крупномасштабных движений не диссипирует непосредственно в тепло, то величина энергии, передаваемая от вихрей этого масштаба к вихрям меньшего масштаба, постоянна, т. е. не зависит ни от масштаба движений, ни от соответствующих скоростей. Размерность потока энергии, отнесенная к единице массы, есть

$rot v = 0.$ (5.85)

Предположим, что движение в некоторых масштабах l не зависит от других параметров, кроме ε . Тогда зависимость v_l от l может быть получена путем составления безразмерного комплекса из величин ε , l и v_l. Учитывая (5.85), сразу получаем с точностью до численного множителя:

$v_l \sim (\epsilon l)^{1/3}.$ (5.86)

Определим спектральную функцию энергии турбулентного движения W_k таким образом, чтобы энергия, заключенная в движениях с волновыми числами в интервале от k до k + dk, равнялась W_kdk. Тогда из (5.86) следует

$W_k \sim \frac{\rho \epsilon^{2/3}}{k^{5/3}},$ (5.87)

где ρ - плотность среды. Соотношения (5.86) и (5.87) и есть спектр Колмогорова.

Спектр Колмогорова нельзя применять непосредственно к движениям самых больших масштабов - здесь ε уже не является единственным определяющим параметром. В частности, скорости движения в этих масштабах зависят и от геометрии среды и от той причины, которая вызывает движения в самых крупных масштабах. Со стороны малых масштабов спектр Колмогорова ограничен влиянием вязкости или других диссипативных процессов. Пусть ν - кинематический коэффициент вязкости или другого диссипативного процесса, который может влиять на характер движения. Его размерность

$[\nu] = \left[\frac{\eta}{\rho}\right] = \frac{\mbox{см}^3}{\mbox{сек}}.$ (5.88)

Тогда нижняя граница колмогоровского спектра l_ν определяется совместным действием ε и ν. Составляя безразмерную комбинацию из этих величин и масштаба l_ν, получим

$l_\nu \sim \left(\frac{\nu^3}{\epsilon}\right)^{1/4}.$ (5.89)

Реальная вихревая турбулентность в космических условиях, конечно, не является ни изотропной, ни однородной, и имеет место в сжимаемом, газе. Тем не менее псе эти соотношения, имеющие размерностный характер, остаются справедливыми.

Приведем несколько конкретных примеров. На рис. 20 приведена величина энергии движения межзвездной среды W(l) как функция масштаба движения l. Из (5.87) следует соотношение

$W(l) \approx \rho v_l^2 \approx \rho(\epsilon l)^{2/3},$

справедливое для не слишком больших масштабов.

Наблюдаемая зависимость оказалась несколько более крутой, W(l) ∼ l^0,7, [14], но близкой к теоретическому спектру Колмогорова, хотя, конечно, движения межзвездного газа не являются ни изотропными, ни однородными. Величина l₀ ≈ 80 - 100 пс характеризует масштаб движений с максимальной плотностью энергии. Далее с ростом l плотность энергии быстро спадает.

Подобные спектры были получены и для движений в туманности Ориона [15]. Вообще различные исследования поведения скоростей в турбулентных астрофизических средах показывают, что по крайней мере не в очень крупных масштабах движений имеет место спектр Колмогорова. К сожалению, построение спектров движений газа в космических объектах часто затруднено тем, что одновременные определения из наблюдений скоростей движения различных масштабов очень сложны.

Рис. 20. Спектральная функция межзвездной турбулентности.
Спектру Колмогорова соответствует восходящая часть кривой (до 80 пс).

Размерностное соотношение (5.86) оказывается очень полезным и для оценки диссипации энергии в турбулентных движениях в тех случаях, когда можно определить по данным наблюдений скорость движений и масштаб. Для турбулентности межзвездной среды имеем v = 7 км ⋅ сек^-1 и l ≈ 100 пс ≈ 3 ⋅ 10²⁰ см, откуда получаем ε = 10^-3 эрг ⋅ г^-1 ⋅ сек^-1. Такое количество энергии должно поставляться источниками, возбуждающими межзвездную турбулентность.

В качестве другого примера оценим характерные величины крупномасштабных движений в звездной атмосфере, возникающих из-за турбулентной конвекции. Характерный размер наиболее крупномасштабного вихря не может заметно превышать эквивалентную высоту слоя - в противном, случае в одном и том же масштабе движения происходило бы очень сильное изменение плотности. Поэтому

$l_0 \approx \frac{\Re T}{\mu g},$ (5.90)

где Т - температура слоя и g - ускорение силы тяжести. Скорость движений v₀ определяется потоком кинетической энергии, которую эти движения должны переносить, т. е. величиной

$F_{\mbox{кин}} = \frac{L}{4\pi R^2} \approx \rho v_0^3.$ (5.91)

Здесь считается, что в области конвекции заметная часть полного потока энергии L/4πR² переносится газодинамическими движениями, скорости которых v₀, а плотности энергии ρv₀² (ниже будет приведена формула (5.154) для потока тепловой энергии, переносимой конвекцией). Подставляя l₀ из (5.90) и v₀ из (5.91) в соотношение (5.86), определим диссипацию энергии в слоях звезды с существенным конвективным переносом энергии:

$\epsilon \approx \frac{Lg\mu}{4\pi R^2\rho\Re} \approx \frac{GML}{4\pi R^4p},$ (5.92)

где p - давление газа в конвективной зоне. На Солнце величина ε порядка 10¹² см² ⋅ сек^-3, у сверхгигантов много меньше, порядка 10⁶ см² ⋅ сек^-3. Но у вспыхивающих звезд и красных карликов величина е может быть и существенно больше, порядка 10¹⁴ см² ⋅ сек^-3.

Перейдем теперь к случаю акустической турбулентности. Здесь, кроме того же основного параметра ε - диссипации энергии, есть еще один определяющий параметр: v_s - скорость распространения звуковых волн. Из четырех величин с размерностями, зависящими только от длины и времени:

$\begin{array}{l} [\epsilon] = \mbox{см}^2 \cdot \mbox{сек}^{-3},\\ {[l]} = \mbox{см} \\ {[v_s]} = [v_l] = \mbox{см} \cdot \mbox{сек}^{-1}, \end{array}$ (5.93)

можно составить два безразмерных комплекса и, следовательно, на основании одних соображений анализа размерностей нельзя получить спектр акустической турбулентности. Но это можно все же сделать, используя некоторые дополнительные физические соображения.

Во-первых, надо учесть, что если в вихревой турбулентности каждый вихрь живет примерно столько времени, сколько нужно веществу, чтобы совершить один полный оборот (т. е. в вихревой турбулентности характерное время τ ∼ l/v_l), то в акустической турбулентности волна существует несколько или даже много периодов. Иными словами, здесь характерное время движения в масштабе l должно быть много больше величины "времени обращения", т. е. величины l/v_l.

Взаимодействие волн между собой определяется их нелинейностью, т. е. величиной отношения v_l/v_s. Будем, поэтому считать, что в первом приближении характерное время взаимодействия τ больше времени обращения на множитель порядка большой величины отношения v_s/v_l т. е.

$\tau \approx \frac{v_s}{v_l}\frac{l}{v_l} \approx \frac{v_s}{kv_k^2}.$ (5.94)

Поток энергии через "иерархию волн", рассчитанный на единицу массы, очевидно, равен

$\epsilon \approx \frac{v_l^2}{\tau} \approx \frac{v_l^4}{v_s l} \approx \frac{kv_k^4}{v_s}.$ (5.95)

По-прежнему будем считать, что турбулентность определяется только передачей энергии от одних масштабов к другим и что диссипация энергии в тепло происходит в самых малых масштабах. Тогда величину ε можно считать постоянной, и поэтому

$v_l \sim (\epsilon v_s l)^{1/4}.$ (5.96)

Спектральная функция акустической турбулентности [16]:

$v_l \sim (\epsilon v_s l)^{1/4}.$ (5.97)

Минимальный масштаб (минимальная длина волны) определяется соотношением (5.89).

Анализ спектров акустической (млн магнитозвуковой) турбулентности в астрофизических условиях пока еще не проводился. Поэтому мы ограничимся лишь некоторыми качественными замечаниями. Соотношение (5.96), так же как и (5.86), можно использовать для оценки энергии турбулизации. Сравнивая эти формулы, видим, что в случае звуковой турбулентности необходим меньший расход энергии на возбуждение движений с теми же скоростями и в тех же масштабах, что и в случае вихревой турбулентности. Это означает, что если перенос энергии в атмосфере звезды определялся бы волнами, то величина (5.92) была бы меньше на множитель v₀/v_s. На Солнце действительно имеется перенос энергии волнами, но нужно иметь в виду, что таким путем переносится лишь небольшая часть полного потока энергии Солнца, т. е. та часть, которая расходуется на нагрев хромосферы и короны.

Задавая и в этом случае поток энергии F_a (который теперь много меньше величины L/4πR²), получим вместо (5.91)

$F_{\mbox{волн}} \approx \rho v_0^2v_s,$ (5.98)

поскольку теперь энергия переносится со скоростью звука. Подставляя (5.90) и (5.98) в (5.96), находим

$\epsilon \approx \frac{v_0^4}{v_s l_0} \approx \frac{F_a^2\mu g}{\rho v_s^3\Re T} \approx \frac{GMF_a^2}{v_s R^2 p^2}$ (5.99)

с точностью до множителей порядка единицы.

Из сопоставления (5.92) и (5.99) можно сделать следующее заключение. Пусть у нас есть конвекция в виде турбулентности вихревого типа, которая на некотором уровне превращается в звуковую турбулентность. Тогда очевидно, что па этом уровне величины (5.92) и (5.99) должны быть одного порядка. Приравнивая эти величины, находим поток энергии, переносимый волновой турбулентностью:

$F_{\mbox{волн}} \approx \left(\frac{v_s pL}{4\pi R^2}\right)^{1/2} \approx \left(\frac{\Re T}{\mu}\right)^{3/4} \left(\frac{\rho L}{4\pi R^2}\right)^{1/2}.$ (5.100)

Для солнечной атмосферы имеем F_a ≈ 10⁷ эрг ⋅ см^-2 ⋅ сек^-1 в удовлетворительном качественном согласии с данными наблюдений.

Хромосферы, нагреваемые волновой турбулентностью, вероятно, есть и у других звезд. Можно оценить параметры звезды, у которой хромосферная светимость L_a будет порядка фотосферной светимости. Имеем

$\frac{L_{\mbox{волн}}}{L} = \frac{4\pi F_a R^2}{L} \approx \left(\frac{4\pi R^2 v_s p}{L}\right)^{1/2} \approx \left(\frac{\Re T}{\mu}\right)^{3/4} \left(\frac{4\pi R^2 \rho}{L}\right)^{1/2}$ (5.101)

где, по-прежнему, р и ρ - давление и плотность в области генерации волновой турбулентности. Поэтому благоприятными являются условия в красных карликах, у которых действительно обнаружены хромосферные линии.

Свойства турбулентности часто определяют числом Рейнольдса для данного масштаба движений. Для вихревой и акустической турбулентности соответственно имеем

$\begin{array}{l} Re \approx \frac{v_l l}{\nu} \approx \frac{\epsilon^{1/3}}{\nu}l^{4/3}, \\ \\ Re \approx \frac{v_l l}{\nu} \approx \frac{(v_s \epsilon)^{1/4}}{\nu}l^{5/3}. \end{array}$

Величина числа Рейнольдса есть отношение времени диссипации движений из-за вязкости ∼ l²/v к характерному времени изменения состояния движения в масштабе l, т. е. величине l/v_l ≈ l²/v_ll.

Число Рейнольдса максимально в области движений основного масштаба и минимально в области масштабов вязкой диссипации энергии. Если формально в выражении для числа Рейнольдса подставить l из (5.89), то получим, что в области масштабов вязкой диссипации Re ≈ 1. Однако многочисленные экспериментальные данные показали, что диссипация энергии турбулентных движений в тепловую из-за действия вязкости начинается при существенно больших масштабах. Оказалось, что в области наибольшей диссипации число Рейнольдса около 30-50. Отсюда, во-первых, следует, что значение минимального масштаба спектра Колмогорова порядка (15-25) (ν³/ε)^1/4. Во-вторых, это обстоятельство позволяет получить численную оценку величины так называемой турбулентной вязкости. Это явление заключается в следующем.

Распад движений основного масштаба на более мелкомасштабные движения можно описать с помощью диссипации крупномасштабных движений под действием турбулентной вязкости. Здесь мелкомасштабные движения играют роль "молекул" с длиной свободного пробега l и скоростью движения v_l. Величину турбулентной вязкости ν_t выбирают так, чт