Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу
 

На первую страницу Размерности и подобие астрофизических величин << § 4.5 Численное моделирование эволюции звезд | Оглавление | § 5.2 Вращение и магнитные поля звезд >>

Глава V. Стационарные движения в звездах

Общеизвестно высказывание Эддигтона о том, что "нет ничего проще звезды". Однако если это и справедливо, то только до тех пор, пока мы не рассматриваем движения в звездах. Учет вращения и магнитных полей сразу вносит существенный элемент неопределенности в теорию, поскольку распределение скоростей вращения и напряженности магнитных полей внутри звезды остается не известным. Несколько лучше обстоит дело с теорией пульсаций звезд, где можно считать понятными основные черты явления. При исследовании движений в звездах часто трудно получить более или менее полные уравнения, которые можно было бы решить однозначно. Здесь соображения теории размерностей иногда остаются единственно возможными.

В настоящей главе мы рассмотрим с точки зрения теории размерностей и подобия стационарные движения - пульсации звезд, их вращения и магнитные поля, а также условия конвекции и турбулентности в звездах, межзвездном пространстве и атмосферах планет. В следующей главе мы рассмотрим нестационарные движения автомодельного типа в звездах и межзвездном пространстве.

§ 5.1 Пульсация переменных звезд

Звездные пульсации, т. е. периодические сжатия и расширения звезд с относительно небольшой амплитудой, очень подробно исследовались различными астрофизическими методами (см. сборник статей [1]). Очень много работ было посвящено и теоретической интерпретации этого явления. Можно отметить книгу Росселанда [2], статьи С. А. Жевакина в сборнике [1] и его обзор [3], а также статьи Беккера, Кокса и Кристи в сборнике [4] и Кристи в сборнике [5].

В настоящее время теоретический анализ явления звездной переменности основан почти исключительно на численных расчетах. Но поскольку основная наша цель - нахождение критериев подобия в астрофизических явлениях, то мы рассмотрим здесь, хотя и приближенно, но зато с достаточной общностью, аналитическое решение задачи о вычислении параметров звездных пульсаций.

Уравнения структуры стационарных звезд, записанные в предыдущей главе, не учитывают движений газа. Внесем теперь в эти уравнения члены, описывающие радиальные пульсации звезд. Общая теория учитывает и нерадиальные пульсации, однако мы это делать не будем.

Уравнения пульсации звезд удобнее записывать в лагранжевой системе координат, рассматривая в качестве независимой переменной не радиус r, а массу, заключенную внутри сферы радиуса r, т. е. величину, обозначенную раньше через М(r), а теперь обозначаемую через Мr. В лагранжевой системе координат положение данного элемента массы газа есть r(Мr, t), т. е. является функцией массы внутри сферы r и времени t как независимых переменных. Из условия непрерывности следует первое уравнение:

$$
\frac{\partial r}{\partial M_r} = \frac{1}{4\pi\rho r^2}.
$$ (5.1)

Уравнение движения элемента массы под действием как гравитационной силы, так и градиента давления, имеет вид

$$
\rho\frac{\partial^2 r}{\partial t^2} = -\frac{GM_r}{r^2}\rho - \frac{\partial p}{\partial r}
$$ (5.2)

или, в лагранжевых переменных,

$$
\frac{\partial^2 r}{\partial t^2} = -\frac{GM_r}{r^2} - 4\pi r^2\frac{\partial p}{\partial M_r}.
$$ (5.3)

Уравнение лучистой теплопроводности в лагранжевых переменных запишется в виде

$$
L_r = -\frac{64\pi^2 acr^4T^3}{3\varkappa}\frac{\partial T}{\partial M_r}.
$$ (5.4)

Здесь Lr - количество энергии, генерируемое за секунду внутри сферы радиуса r, или, иными словами, в области, занятой массой Мr. Температура, как и другие параметры, зависит от Мr и t.

В уравнении генерации энергии теперь нужно учесть и изменение тепловой энергии со временем при пульсациях, а также работу, совершаемую при сжатиях и разрежениях. В лагранжевых координатах это уравнение имеет вид

$$
\frac{\partial L_r}{\partial M_r} = \epsilon - \left[\frac{\partial}{\partial t}(c_v T) - p\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{\rho}\right) \right],
$$ (5.5)

где ε - по-прежнему, мощность энергии, выделяемой в одном грамме вещества при термоядерных реакциях, cvT - внутренняя энергия единицы массы газа. Теплоемкость при постоянном объеме cv может быть записана через характерный показатель адиабаты для смеси газа и излучения Γ:

$$
c_v = \frac{1}{\Gamma - 1}\frac{\Re}{\mu},
$$ (5.6)

где Γ есть функция β - отношения газового давления к полному:

$$
\beta = \frac{1}{1 + \frac{\mu aT^3}{3\Re\rho}}.
$$ (5.7)

С условием (5.6) уравнение (5.5) принимает вид

$$
\frac{\partial L_r}{\partial M_r} = \epsilon + \frac{p}{\rho}\frac{\partial}{\partial t}\ln\left(\frac{\rho}{T^{\frac{1}{\Gamma - 1}}}\right).
$$ (5.8)

Здесь под ∂/∂ t - следует, вообще говоря, понимать полную производную по времени, т. е. с учетом и члена $v\frac{\partial}{\partial r}$, где v - скорость.

Система уравнений (5.1), (5.3), (5.4) и (5.8) совместно с определением функций ϰ , ε и μ , представляет собой полную систему уравнений радиальных звездных пульсаций. Мы примем для этих функций степенные зависимости, введенные в предыдущей главе.

Здесь нужно сделать одно существенное замечание. В реальных пульсирующих звездах наибольшие колебания происходят во внешних слоях звезд, в частности, в зонах ионизации водорода и гелия. Там коэффициент непрозрачности ведет себя очень сложным образом, и любая степенная зависимость оказывается недостаточно точной. Поэтому анализ, основанный на степенном представлении коэффициента непрозрачности (что необходимо для применения метода подобия), может рассматриваться лишь как качественно правильный. Более или менее точная количественная теория звездных пульсаций может быть построена только на основе численного моделирования с учетом табличных данных для коэффициента непрозрачности. Краткое описание численного моделирования пульсаций мы приведем ниже.

Возвратимся к системе уравнений, записанной выше, и перейдем в ней к безразмерным переменным, введенным в предыдущей главе, а именно:

$$
\begin{array}{l}
x = \frac{r}{R}, \quad q = \frac{M_r}{M}, \quad l = \frac{L_r}{L}, \\ \\
p(x, \tau) = \frac{4\pi R^4}{GM^2}p(r, t), \\ \\
\sigma(x, \tau) = \frac{4\pi R^3}{M}\rho(r, t), \\ \\
t(x, \tau) = \left(\frac{\Re R}{\mu_0 GM}\right)^{\frac{1}{\eta}} \left(\frac{4\pi R^3}{M}\right)^{\frac{1 - \xi}{\eta}}T(r, t),
\end{array}
$$ (5.9)

где t(х, τ) - безразмерная температура. Кроме того, введем безразмерное время по формуле

$$
\tau = t\sqrt{\frac{GM}{R^3}},
$$ (5.10)

где t - размерное время. Система уравнений пульсаций в безразмерном виде запишется так (теперь q и τ есть независимые переменные):

$$
\begin{array}{l}
\frac{\partial^2 x}{\partial \tau^2} = - \frac{q}{x^4} - x^2\frac{\partial p}{\partial q}, \quad \frac{\partial x}{\partial q} = \frac{1}{\sigma x^2}, \\ \\
\frac{\partial t}{\partial q} = -\Pi_1\frac{l\sigma^\alpha}{x^4t^{\nu+3}}, \quad p = \sigma^\xi t^\eta + \Pi_3 t^4, \\ \\
\frac{\partial l}{\partial q} = \Pi_2 \sigma^m t^n + \Pi_5\frac{p}{\sigma} \frac{\partial}{\partial \tau}\ln(\sigma t^{-\frac{1}{\Gamma - 1}}),
\end{array}
$$ (5.11)

где Π1, Π2, Π3 - безразмерные комплексы, определенные в предыдущей главе:

$$
\begin{array}{l}
\Pi_1 = \frac{3\varkappa_0 L}{16\pi caR^2}\left(\frac{M}{4\pi R^3}\right)^{\alpha + 1 - \frac{\nu+3}{\eta}(1-\xi)} \left(\frac{\Re R}{\mu_0 GM}\right)^{\frac{\nu+3}{\eta}},\\ \\
\Pi_2 = \frac{4\pi\epsilon_0 M}{L}\left(\frac{M}{4\pi R^3}\right)^{m + 1 + \frac{n}{\eta}(1-\xi)} \left(\frac{\mu_0 GM}{\Re R}\right)^{\frac{n}{\eta}},\\ \\
\Pi_3 = \frac{a}{3}\left(\frac{\mu_0 GM}{\Re R}\right)^{\frac{4}{\eta}}\left(\frac{M}{4\pi R^3}\right)^{4\frac{1-\xi}{\eta}} \frac{4\pi R^4}{GM^2},
\end{array}
$$ (5.12)

а Π5 есть новый безразмерный комплекс:

$$
\Pi_5 = \frac{1}{GL}\left(\frac{GM}{R}\right)^{5/2}.
$$ (5.13)

Пульсации звезд, как правило, малы по амплитуде. Наибольшая величина амплитуды пульсаций, достигаемая у поверхности звезды, редко превышает 5%. В глубоких слоях звезды амплитуда пульсаций порядка 10-3. Хотя пульсации не всегда можно считать линейными, но в первом приближении мы ограничимся линейной задачей. Попутно отметим, что частный случай нелинейных, но адиабатических пульсаций газового шара, допускающий аналитическое решение, был указан Л. И. Седовым.

Линеаризуем систему уравнений (5.11). Для этого произведем замену искомых функций p → p(1+p'), x → x(1+x')... и т. д., где штрихованные величины есть безразмерные функции аргументов q и τ, а нештрихованные зависят только от q и описывают стационарное равновесное состояние. Будем считать, что все штрихованные величины много меньше единицы. В нулевом приближении нештрихованные величины удовлетворяют уравнениям равновесия, а в следующем, первом приближении получаем линейные уравнения для штрихованных величин:

$$
\begin{array}{l}
\frac{\partial p'}{\partial q} + \frac{1}{xp}\frac{\partial^2 p'}{\partial \tau^2} = \frac{q}{x^4p}(p' + 4x'), \\ \\
\frac{\partial x'}{\partial q} = -\frac{\sigma' + 3x'}{x^3\sigma}, \\ \\
\frac{\partial t'}{\partial q} = -\Pi_1 \frac{l\sigma^{\alpha}}{x^4t^{\nu+4}}[l' + \alpha\sigma' - (\nu + 4)t' - 4x'], \\ \\
\frac{\partial l'}{\partial q} = \Pi_2 \frac{\sigma^mt^n}{l}(m\sigma' + nt' - t) + \Pi_5\frac{p}{\sigma l}\left(\frac{\partial \sigma'}{\partial \tau} - \frac{1}{\Gamma - 1}\frac{\partial t'}{\partial \tau}\right), \\ \\
p' = \frac{\sigma^\xi t^\eta}{p}(\xi\sigma' + \eta t') + 4\Pi_3\frac{t^4}{p}t'.
\end{array}
$$ (5.14)

В этой системе уравнений нештрихованные величины определяются системой уравнений (4.59), которую можно переписать в координатах Лагранжа:

$$
\begin{array}{l}
\frac{dp}{dq} = -\frac{q}{x^4}, \quad \frac{dx}{dq} = \frac{1}{\sigma x^2}, \\ \\
\frac{dt}{dq} = -\Pi_1 \frac{l\sigma^{\alpha}}{x^4t^{\nu+4}}, \quad \frac{dl}{dq} = \Pi_2 \sigma^m t^n .
\end{array}
$$ (5.15)

Решение этой системы мы будем считать известным.

Очевидно, что система (5.14) описывает пульсации (есть вторая производная $\frac{\partial^2 x}{\partial \tau^2}$ Но наличие производных по q означает, что имеет место своеобразная дисперсия. При исследовании пульсаций в плазме аналогичное явление называется пространственной дисперсией. Здесь эту особенность системы можно назвать дисперсией по лагранжевой координате.

Применим теперь к системе (5.14) обычные методы теории малых колебаний. Воспользуемся приближением, эквивалентным методу Вентцеля - Крамерса - Бриллюэна, т. е. будем считать, что производные по q штрихованных величин много больше, чем производные по q не штрихованных величин.

Тогда решение системы (5.14) можно искать в виде

$$
p',x',t',l' \sim e^{i(\omega\tau-Kq)},
$$ (5.16)

где ω - безразмерная частота (выраженная в единицах времени т согласно (5.10)), а К - аналог волнового числа.

Подставляя (5.16) в (5.14), подучим систему:

$$
\begin{array}{l}
-iKp' - \frac{\omega^2 x'}{xp} - \frac{q}{x^4p}(p' + 4x') = 0, \\ \\
-iKx^3\sigma x' + 3x' + \sigma' = 0, \\ \\
-iKx^4t^{\nu+4}t' + \Pi_1l\sigma^2[l' + \alpha\sigma' - (\nu + 4)t' - 4x'] = 0, \\ \\
-iKl' - \Pi_2 \frac{\sigma^mt^n}{l}(m\sigma' + nt' - t') + \Pi_5\frac{p}{\sigma l}i\omega\left(\sigma' - \frac{1}{\Gamma - 1}t'\right) = 0, \\ \\
p' - \frac{\sigma^\xi t^\eta}{p}(\xi\sigma' + \eta t') + 4\Pi_3\frac{t^4}{p}t' = 0.
\end{array}
$$ (5.17)

Это и есть система однородных уравнений (но с переменными коэффициентами). Исключая отсюда все штрихованные величины, можно получить дисперсионное соотношение, определяющее зависимость ω(К). В общем виде дисперсионное соотношение получается громоздким, поэтому не будем его выписывать. Существенно легче понять всю картину, если сначала максимальным образом упростить систему (5.17), а потом последовательно учитывать все более сложные случаи.

Наиболее простой случай - пульсации без дисперсии по лагранжевой координате, т. е. при К = 0. Этот случай называется моделью одной зоны (см. статью Беккера в [4]). В самом деле, здесь колебания каждого слоя в звезде происходят независимо от других слоев, хотя параметры пульсаций разных слоев различны. Упростим задачу еще дальше. Поскольку пульсации обычно имеют место в слоях звезды вблизи ее поверхности, пренебрежем ролью лучевого давления (Π3 = 0) и термоядерными реакциями (Π2 = 0). Тогда дисперсионное соотношение оказывается совсем простым, из него выпадает даже комплекс Π5.

Пульсации в этом случае имеют адиабатический характер (t' = (Γ - 1)σ') и частота этих пульсаций определяется кубическим уравнением

$$
\omega(\omega^2 - B\omega_q^2) = 0
$$ (5.18)

где введены новые обозначения:

$$
\omega_q = \sqrt{\frac{q}{x^3}}, \quad B = 3(\Gamma - 1)\eta + 3\xi - 4.
$$ (5.19)

Из уравнения (5.18) следует существование трех решений:

$$
\omega_{2,1} = \pm\omega_q\sqrt B, \quad \omega_3 = 0.
$$ (5.20)

Если от безразмерной частоты со перейти к размерным частотам и периодам, то получим следующее выражение для периода колебаний слоя на расстоянии с от центра звезды:

$$
P(r) = \frac{2\pi}{\sqrt{3(\Gamma - 1)\eta + 3\xi - 4}}\sqrt{\frac{r^2}{GM(r)}}.
$$ (5.21)

При η = ξ = 1 численный множитель оказывается равным $2\pi/\sqrt{3\Gamma - 4}$. Итак, пульсации слоя возможны, если B < 0 (эквивалентно условию Γ < 4/3 при η = ξ = 1) и период колебаний, как и следовало ожидать, обратно пропорционален корню из средней плотности части звезды, ограниченной пульсирующим слоем. Это и есть самый простой случай. Будем теперь усложнять модель. Попытаемся сначала учесть возможную неадиабатичность колебаний. Иными словами, допустим, что между разными пульсирующими слоями происходит обмен энергией. Но, по-прежнему, будем пренебрегать лучевым давлением (Π3 = 0) и термоядерными реакциями (Π2 = 0).

При неадиабатических пульсациях $\sigma' \ne \frac{1}{\Gamma - 1}t'$. Поэтому в четвертом уравнении следует сохранить член iKl'. Это и очевидно, поскольку теперь из-за обмена энергией появляется и дисперсия по лагранжевой координате. Если сохранить члены с iK во всех уравнениях системы (5.17), то дисперсионное уравнение опять окажется громоздким.

Но можно воспользоваться следующими рассуждениями. Допустим, что частота пульсаций каждого слоя звезды определяется только параметрами, соответствующими положению слоя внутри звезды, а взаимодействие между слоями сводится лишь к появлению неадиабатич-ности. Тогда в уравнениях (5.17) можно сохранить лишь член iKl', а все остальные члены с iK опустить. В этом случае дисперсионное уравнение опять оказывается сравнительно простым:

$$
\omega(\omega^2 - B\omega_q^2) + i\frac{K\sigma l}{p\Pi_5}(A\omega^2 - C\omega_q^2) = 0,
$$ (5.22)

где новые коэффициенты А и С суть:

$$
\begin{array}{l}
A = (\Gamma - 1)(\nu +4), \\
C = (\Gamma - 1)[(3\alpha + 4)\eta + (\nu +4)(3\xi - 4)].
\end{array}
$$ (5.23)

Уравнение (5.22) для случая η = ξ = 1 было получено из других соображений Беккером (см. [4]).

Сразу из (5.22) следует, что учет неадиабатичности приводит к появлению мнимых членов в частотах пульсаций, т. е. к затуханию или раскачке этих колебаний. Уравнение (5.22) можно легко решить для случая, когда множитель $\frac{K\sigma l}{p\Pi_5}$ мал. Воспользуемся этим приближением. Будем искать решение в виде

$$
\omega_{1,2} = \omega_q\sqrt B\left(\pm 1 + \frac{i}{s}\right),
$$ (5.24)

где s ≫ l. Если подставить (5.24) в (5.16), то получим

$$
p',x',l',t' \sim e^{i(\omega_q\sqrt{B}t - Kq)}e^{-\frac{\omega_q\sqrt{B}}{s}t}.
$$

Отсю