Глава I. Астрофизика и методы анализа размерностей

§ 1.1 Размерности астрофизических величин

Астрофизика - наука, изучающая свойства небесных тел на основе всей суммы наших знаний об основных физических и даже химических свойствах материи. Астрофизические исследования в первую очередь основаны на измерении астрофизических величин, на выражении их через параметры, известные нам в физике. Мы определяем массу, характерные размеры (расстояния, структурные особенности), характерные времена (периоды колебаний, эволюционное развитие), скорости, энергию и другие такие же важные параметры небесных тел. Особое внимание в астрофизике уделяется излучательным свойствам небесных тел - их светимости, потокам энергии с единицы площади в определенных интервалах длин волн и частот. Иными словами, в астрофизике, как и в любой другой области физики, определяются размерные и безразмерные величины, представляющие собой численные отношения соответствующих параметров к величинам, принятым за единицы измерения.

Напомним определение размерных и безразмерных величин. Величина называется размерной, или именованной, если ее численное значение зависит от выбора системы единиц измерения. Примеры: масса звезды, ее радиус, плотность и т. д. Величины называются безразмерными, если их значение сохраняется неизменным в различных системах единиц. Это угол, отношение двух длин и вообще отношение двух одноименных величин, показатель экспоненты в законе Планка (hν/kT) и т. д.

Следует сразу же отметить относительность понятия размерности. Так, в геометрии угол является величиной безразмерной (отношение двух дуг). Однако в астрономии углы измеряются в градусах, минутах и секундах дуги или в часах, минутах и секундах времени. Безразмерное отношение двух длин может выражаться в процентах и т. д. Таким образом, не только количественное значение, но и размерность физической величины может изменяться при другом выборе системы единиц измерения. Вообще размерность всегда связана с принятой системой единиц. В дальнейшем вместо полного наименования "размерность физической величины в данной системе единиц измерения" мы будем говорить просто "размерность".

Существуют основные, первичные единицы и производные, вторичные единицы измерений. Выбор основных единиц в какой-то мере произволен и зависит от техники измерений. В физике, как правило, пользуются тремя основными единицами измерений: длины, массы и времени. В наиболее распространенной в астрофизике системе единиц CGS - это сантиметр, грамм, секунда. Постепенно все чаще начинают использовать единую международную систему единиц СИ, где введены шесть основных единиц: длина (метр), масса (килограмм), время (секунда), сила тока (ампер), температура (градус Кельвина), сила света (свеча). Три последние единицы измерения могут быть выражены через три первые посредством универсальных размерных констант. Например, температура выражается через энергию (с размерностью г ⋅ см² сек^-2) умножением ее на постоянную Больцмана k = 1,38 ⋅ 10^-16 г ⋅ см² ⋅ сек^-2 ⋅ град^-1. Введение ампера, градуса и свечи как основных единиц связано с удобствами электротехнических, теплотехнических и светотехнических измерений и поэтому не является принципиальным.

Более того, непринципиально и определение трех основных единиц - длины, массы и времени. С помощью универсальных размерных мировых констант, таких как скорость света с, постоянная тяготения Ньютона G и постоянная Планка h, можно одну из этих единиц выразить через две другие или даже оставить всего одну основную размерную единицу, например, длину. Тогда масса тела выражается в ее гравитационных радиусах. Можно, наконец, вообще все величины выражать в безразмерных единицах - такие системы единиц иногда предлагались в теоретической физике.

Таким образом, выбор основных единиц измерения, как правило, диктуется удобствами определения величины, областью рассматриваемых проблем, историческими причинами. Например, хотя в астрофизике часто имеют дело с измерениями световых потоков, свеча в качестве основной единицы измерения почти никогда не используется, так как астрофизические потоки очень слабы. Очень редко в астрофизике в качестве основной единицы измерения используется и ампер.

С фугой стороны, температура как основная единица измерения используется очень широко. Отчасти это связано с историческими причинами - термодинамика звезд была одним из первых разделов астрофизики. Тепловое излучение вообще играет очень большую роль в астрофизике. Даже потоки радиоизлучения часто выражают в тепловых единицах.

Поэтому тля астрофизики можно в качестве основных единиц измерения ограничиться выбором четырех величин: длины, массы, времени и температуры. Правда, во многих случаях для упрощения можно выражать температуру в энергетических единицах (т. е. использовать величину кТ) или в единицах квадрата скорости (т. е, использовать RT/μ , где R - универсальная газовая постоянная и μ - молекулярный вес). Тогда основных единиц останется три. Чем меньше основных единиц, тем легче составлять размерностные соотношения, и поэтому мы часто будем пользоваться этим упрощением.

Какие единицы выбрать за основные размерности? Длину можно измерить в сантиметрах, метрах, километрах. Но для астрономии метры и километры не имеют никакого преимущества перед сантиметрами - все равно соответствующие астрофизические величины описываются числами с большими степенями десяти. Поэтому лучше всего просто пользоваться сантиметрами. Правда, есть И специально астрономические единицы длины.

В планетной астрономии используется так называемая астрономическая единица: 1 а. е. = 1,5 ⋅ 10¹³ см, равная среднему расстоянию от Земли до Солнца, в звездной астрономии используется парсек: 1 пс = 3,08 ⋅ 10¹⁸ см, равный расстоянию, под которым диаметр орбиты Земли виден под углом в одну угловую секунду (используются также килопарсеки - 10³ пс и Мегапарсеки - 10⁶ пс). В популярной литературе часто встречаются расстояния, выраженные в световых годах. В дальнейшем в этой книге мы всегда будем пользоваться для определения размерности длины сантиметром, а соответствующие параметры, выраженные в других единицах, легко переводятся в сантиметры посредством переводных множителей.

То же относится и к единице массы. Грамм, килограмм или тонна - безразлично для характеристики небесных тел, так или иначе соответствующие величины выражаются большими степенями десяти. Мы будем пользоваться граммами. Астрономическая единица массы - масса Солнца - будет использоваться лишь для удобного представления величин в окончательных соотношениях. Время мы будем измерять в секундах, хотя в окончательных формулах часто будем пользоваться годом. Градусы всегда измеряются в шкале Кельвина.

Основные единицы длины в теории размерности обозначаются буквами: длина - L, масса - М, время - Т, температура - Θ. К сожалению, для астрофизики эти обозначения неудобны. Буквой L всегда обозначают светимость, М - масса тела, а не единица массы, Т - температура. Поэтому в формулах этой книги мы будем использовать как обозначение единицы массы символ г, как обозначение единицы длины - см, как обозначение единицы времени - сек и обозначение единицы температуры - град. Таким образом, для простоты и наглядности мы ограничимся системой CGS (грамм, сантиметр, секунда), хотя, в принципе, обозначение, скажем

$[A]= \frac{\mbox{г} \cdot \mbox{см}^2}{\mbox{сек}^2}$

для единицы энергии можно понимать и в более широком смысле, как изображающее любую систему единиц, основанную на единицах длины, массы и времени (например, системы СИ).

Обозначение [А] для характеристики размерности физической величины было предложено Максвеллом и с тех пор широко употребляется. Реже встречается обозначение [А], дающее численное значение величины A в данной системе единиц.

Размерность производной величины выражается через размерности основных величин в виде произведения степеней. Учитывая сделанный нами выбор основных первичных единиц, можно написать для размерности любой астрофизической величины:

$[A] = M^{k_1}L^{k_2}T^{k_3}\Theta^{k_4} = \mbox{г}^{k_1} \cdot \mbox{см}^{k_2} \cdot \mbox{сек}^{k_3} \cdot \mbox{град}^{k_4} ,$ (1.1)

где k₁, k₂, k₃, k₄ - некоторые рациональные числа, которые могут быть положительными и отрицательными, целыми и дробными, в том числе и равными нулю. Но существенно, что ни одно из чисел k_iне может быть иррациональным.

Соотношение (1.1) называется формулой размерности. Ее степенной характер сразу следует из очевидного требования, чтобы отношение двух численных значений какого-либо производного параметра не зависело от выбора масштаба для основных единиц. Теперь обратимся к астрофизике. Одна из важнейших производных единиц - светимость, количество энергии, излучаемой небесным телом за единицу времени. Размерность светимости, обозначаемой всегда через L, есть

$[L] = \frac{\mbox{эрг}}{\mbox{сек}} = \frac{\mbox{г} \cdot \mbox{см}^2}{\mbox{сек}^3},$

В астрофизике чаще всего светимость измеряют в единицах светимости Солнца L_☉. B наблюдательных работах пользуются безразмерной звездной величиной, пропорциональной логарифму отношений светимости:

$m - m_{\odot} = -2,5\lg\frac{L}{L_\odot}.$

Светимость может быть полной (болометрической) или отнесенной к определенным диапазонам спектра электромагнитного излучения.

Три основные характеристики небесного тела - масса М, радиус R, светимость L - имеют независимые размерности:

$[M] = \mbox{г}, \quad [R] = \mbox{см}, \quad [L] = \frac{\mbox{г} \cdot \mbox{см}^2}{\mbox{сек}^3},$ (1.2)

т. е. из этих трех величин нельзя образовать одной безразмерной комбинации. Это означает, что эти величины можно было бы выбрать за три основные первичные единицы размерности. Подобное предположение было высказано, в частности, Д. А. Франк-Каменецким [1].

Светимость обычно относят к большим интервалам частот и длин волн (оптическая светимость, радиосветимость, рентгеновская светимость). Если отнести ее к единичному интервалу частот или длин волн, то говорят о спектральном распределении излучения. Кроме того, абсолютная светимость часто остается неизвестной, если не определено расстояние до объекта. В этих случаях обычно используется определение спектрального потока излучения - энергии, проходящей через единичную площадку приемника излучения за единицу времени и в единичном интервале частот или длин волн. Соответствующие размерности таковы:

$\begin{array}{l} \, [F_\nu ] = \frac{\mbox{эрг}}{\mbox{сек} \cdot \mbox{см}^2 \cdot \mbox{гц}} = \frac{\mbox{г}}{\mbox{сек}^3 \cdot \mbox{гц}} = \frac{\mbox{г}}{\mbox{сек}^2}, \\ \\ \, [F_\lambda ]=\frac{\mbox{эрг}}{\mbox{сек} \cdot \mbox{см}^2 \cdot \mbox{см}} = \frac{\mbox{г}}{\mbox{сек}^3 \cdot \mbox{см}}. \end{array}$

Здесь гц - единица частоты, [ν] = сек^-1. В радиоастрономии введена единица потока, равная 10^-26вт ⋅ м^-2 ⋅ гц^-1 = 10^-23г ⋅ сек^-2, для которой было предложено название "янский", по имени первого в мире радиоастронома. Малость астрономической единицы потока радиоизлучения наглядно иллюстрирует известное положение, что вся энергия, принятая всеми радиотелескопами мира за все время существования радиоастрономии, недостаточна для того, чтобы перевернуть эту страницу.

Аналогичную размерность (по параметрам г, см, сек) имеет и спектральная интенсивность излучения - количество энергии, излучаемой единицей поверхности небесного тела за единицу времени, в единичном телесном угле, в единичном интервале частот или волновых чисел. Строго говоря, здесь размерность имеет следующий вид:

$\begin{array}{l} \, [I_\nu ] = \frac{\mbox{г}}{\mbox{сек}^2 \cdot \mbox{стерад}}, \\ \\ \, [I_\lambda ]=\frac{\mbox{г}}{\mbox{сек}^3 \cdot \mbox{см} \cdot \mbox{стерад}}, \end{array}$

где 1 стерад - единичный телесный угол, безразмерная величина. Потоки и интенсивности связаны соотношениями

$F_\nu = \Omega I_\nu ,\quad F_\lambda = \Omega I_\lambda ,$ (1.3)

где Ω;;; - телесный угол, под которым видно небесное тело. Так как у астрофизических объектов часто Ω;;; , обычно мало, то F_ν << I_ν . Например, у пульсаров возможно I_ν ≈ 10¹⁰ г ⋅ сек^-2 ⋅ стерад^-1.

Вообще для астрофизических параметров характерен огромный, поистине астрономический разброс величин с одинаковой размерностью.

В современной астрофизике большую роль играют магнитные поля. В физике (в системе CGSE) различают размерности напряженности магнитного поля H и его индукции В, измеряемых в эрстедах и гауссах соответственно; в системе СИ используются единицы ампер/метр и тесла. Подобное усложнение единиц для характеристики магнитных свойств в астрофизике не необходимо, поскольку здесь магнитная проницаемость почти строго равна единице, так что единицы гаусс и эрстед совпадают. В физике для определения величин H и В обычно используют уравнения Максвелла и выражают эти величины через силу тока и ее размерность, но это неудобно для астрофизики.

Лучше всего для определения В воспользоваться тем, что плотность энергии магнитного поля равна В²/8π. Поэтому размерность

$[B] = \left(\frac{\mbox{сек}}{\mbox{сек}^3}\right)^{1/2} = \frac{\mbox{г}^{1/2}}{\mbox{см}^{1/2} \cdot \mbox{сек}}$ (1.4)

с точностью до безразмерного множителя $\sqrt{8\pi}$ и есть один эрстед или один гаусс в системе CGSE. В астрофизической литературе часто используют обозначение B и H для определения магнитных полей и пользуются обеими единицами. Строго говоря, правильнее использовать индукцию B и измерять поле в гауссах, что мы и будем делать в этой книге.

<< Предисловие | Оглавление | § 1.2 Астрофизические формулы и П-теорема >>

Мнения читателей [4]

Версия для печати

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце