Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу 		 

На первую страницу
Физические основы строения и эволюции звезд
<< 9.2 Движение частиц в ... | Оглавление | 9.4 Общие свойства равновесия ... >>

9.3 Сферически-симметричное поле внутри звезды

Займемся теперь уравнениями в веществе. Начнем с уравнения (3) из раздела 9.1. Оно содержит только $ \lambda$. Пусть задано $ T^0_0(r)$.

Известный метод решения неоднородных уравнений -- метод вариации констант. Мы знаем, что $ f=1-a/r$ удовлетворяет однородному уравнению. Будем теперь считать, что $ a$ не является константой. Тогда после подстановки $ f$ в неоднородное уравнение все члены, не содержащие $ da/dr$, сократятся, а мы получим

$\displaystyle -{1\over{r^2}}{da\over{dr}}=\varkappa T^0_0. $

По определению

$\displaystyle T^0_0=-\rho c^2=-\varepsilon. $

Тогда

$\displaystyle a(r)={8\pi G\over{c^4}}\,\int\limits^r_0{\varepsilon}\,r^2dr. $

Введем величину $ m(r)$, такую, что

$\displaystyle a(r)={2Gm(r)\over{c^2}}, $

т. е.

$\displaystyle m(r)=4\pi\,\int\limits^r_0\rho\,r^2dr. $

Результат получился вроде бы тривиальный. Но на самом деле это не так. Элемент объема вовсе не равен $ 4\pi r^2dr$. Поскольку метрика неевклидова, расстояние между равно не $ dr$, а $ e^{\lambda/2}dr$, т. е. $ dr/\sqrt{1-{a(r)\over r}}$, так что

$\displaystyle dV={4\pi r^2dr\over{\left(1-{a(r)\over r}\right)^{1/2}}}. $

Таким образом,

$\displaystyle m(r)<\int\limits^r_0\rho \,dV. $

Полная масса есть значение $ m$ на краю звезды

$\displaystyle M=4\pi\int\limits^R_0\rho \,r^2dr<\int\limits^R_0\rho \,dV. $

Полная масса меньше суммы масс отдельных частей звезды, так как она складывается из масс, которые взаимодействуют гравитационно.

Если отдельные куски вещества (так же сжатые, как в звезде) разнести далеко друг от друга, то их полная масса была бы равна

$\displaystyle M'=\int\limits^R_0\rho \,dV=4\pi\int\limits^R_0{\rho\,r^2dr \over{\sqrt{1-{2Gm(r)\over{rc^2}}}}}. $

Вычислим полное число барионов в звезде

$\displaystyle N=\int\limits^R_0n(r){r^2dr\over{\sqrt{1-{a(r)\over r}}}}. $

Здесь $ n$ -- плотность числа барионов. Теперь определим массу $ M_0$, равную

$\displaystyle M_0=m_0 N, $

где $ m_0$ -- масса ядра железа $ ^{56}\rm {Fe}$, деленная на 56, т. е. это масса бариона, связанного в наиболее устойчивом ядре.

$ (M_0-M')c^2$ -- это минимальная энергия, необходимая для того, чтобы ``распылить'' звезду на бесконечность.

Плотность вещества

$\displaystyle \rho>n\cdot m_0, $

так как при сжатии приходится затратить энергию. Сразу нельзя сказать, что больше

$\displaystyle M=4\pi\int\limits^R_0\rho \,r^2dr $

или

$\displaystyle M_0=4\pi \int\limits^R_0{m_0n\,r^2dr\over{\sqrt{1-a(r)/r}}}, $

так как $ \rho>m_0n$, но $ 1/(1-a/r)^{1/2}>1$.

Поэтому в принципе энергия связи звезды

$\displaystyle {\cal E}=(M-M_0)c^2 $

может быть положительной даже9.2 в локально-равновесной системе и в разных моделях может иметь разный знак. С этим связан и вопрос о том, сколько выделяется энергии при образовании звезды. Мы получили, что масса такой звезды

$\displaystyle M=4\pi\int\rho \,r^2dr, $

и полная масса барионов того же вещества на бесконечности

$\displaystyle M_0=4\pi\int m_0n\,\sqrt{g_{11}} \,r^2dr $

где $ m_0$ -- масса бариона в ядре железа. Как уже говорилось, в принципе могут быть решения с $ M>M_0$, хотя их трудно получить в природе, так как для их образования необходимо затратить энергию. Эти решения неустойчивы относительно разлета на бесконечность. Устойчивы ли они относительно малых возмущений -- сказать нельзя без подробных расчетов. По-видимому ветвь нейтронных звезд малой массы $ M<0,2 M_\odot$ имеет $ {\cal E}>0$, но устойчива относительно малых возмущений (см. ниже). Решения с отрицательной энергией связи ($ M<M_0$) могут получится в результате естественной эволюции. Мы увидим позже, однако, что все решения неустойчивы относительно образования черной дыры, но по отношению к большим возмущениям.

Запишем выражение для массы звезды в виде

$\displaystyle M=M_0+4\pi\int\rho \,r^2dr-4\pi\int nm_0\sqrt{g_{11}}\,r^2dr. $

Обозначим через

$\displaystyle 4\pi n\sqrt{g_{11}}\,r^2dr=dN $

число барионов в слое ($ r,\,r+dr$).

Введем

$\displaystyle m=\rho/n=m_0+E/c^2, $

где $ E$ -- добавочная энергия, затраченная при сжатии. С этими обозначениями

$\displaystyle M=M_0+\underbrace{4\pi\int\rho \,r^2dr-\int m\,dN}_{\mbox{дефект массы}}+ \underbrace{\int m\,dN-\int m_0\,dN}_{\mbox{внутренняя энергия}}= $

$\displaystyle =M_0+\int 4\pi \rho(1-\sqrt{g_{11}})\,r^2dr+\int(E/c^2)\,dN. $

С точностью до величин первого порядка

$\displaystyle \sqrt{g_{11}}=1+{Gm(r)\over{c^2r}}+...\,, $

т. е.

$\displaystyle M=M_0-\int {Gm\,dm\over{c^2r}}+{1\over{c^2}}\int E\,dN+...\,. $

Полученное соотношение было точным выражением для полной энергии звезды в ньютоновской теории. По порядку величины

$\displaystyle M=M_0-K_1{GM_0^2\over{c^2R}}=M_0-K_2M_0{r_g\over R}, $

т.е. можно сказать, что точные для ньютоновской теории соотношения являются лишь первыми членами разложения по степеням $ r_g/R$ для энергии звезды в ОТО (по теореме вириала тепловая энергия имеет тот же порядок величины, что и гравитационная).

В следующем порядке появляется член $ \sim (r_g/R)^2$. Мы уже знаем, что при $ \gamma\longrightarrow 4/3\,\vert{\cal E}_{\mbox{грав}}\vert ={\cal E}_{\mbox{тепл}}$, т.е. член $ r_g/R$ исчезает, и для расчета устойчивости становятся важны поправки $ \sim (r_g/R)^2$. Эффекты ОТО приводят к тому, что при центральной плотности звезды больше некоторой, массы белых карликов начинают убывать (см. рис. 45). Важен также учет ОТО для случая сверхмассивных горячих звезд, где из-за роли давления излучения показатель адиабаты также стремится к 4/3.

Не решая пока уравнения Эйнштейна до конца, попробуем уже сейчас выяснить некоторые свойства метрики внутри звезды. Из-за сферической симметрии достаточно рассмотреть геометрию одной ``плоскости'', проходящей через центр, чтобы охарактеризовать все трехмерие. Метрика такой поверхности такая же, как в плоском трехмерном пространстве на изогнутой поверхности вращения (``тарелке'', см. рис. 55a). Для такой поверхности

$\displaystyle dl^2=r^2d\varphi^2+g_{11}dr^2, $

где

$\displaystyle g_{11}=\cos^{-2}\alpha. $

Выясним асимптотику при $ r\longrightarrow 0$, т. е. в центре. Пусть центральная плотность $ \rho_c$ конечна. Тогда $ m(r)\sim r^3$ и, используя

$\displaystyle g_{11}=\left[1-{2Gm(r)\over{rc^2}}\right]^{-1}, $

получим

$\displaystyle g_{11}=1+$const$\displaystyle \cdot r^2. $

С другой стороны,

$\displaystyle g_{11}=1+\alpha^2 $

т. е.

$\displaystyle \alpha\sim r. $

Поэтому в центре имеем обыкновенную точку (касательная горизонтальна). В принципе может быть особое решение

$\displaystyle \rho\sim b/r^2\,,\quad m\sim r\,,\quad g_{11}\longrightarrow$const$\displaystyle \ne1\,, $

Рис. 55a.Рис. 55b.

т.е. в центре появляется коническая точка с бесконечной кривизной (рис. 55b) -- это решение является асимптотической серии несингулярных решений при $ \rho_i\longrightarrow\infty$.

Рассмотрим теперь асимптотику при $ r\longrightarrow\infty$,

$\displaystyle m=M=$const$\displaystyle . $

Имеем

$\displaystyle g_{11}=1+$const$\displaystyle /r=1+\alpha^2, $

$\displaystyle \alpha\sim{1\over{\sqrt{r}}}\longrightarrow 0, $

т.е. на бесконечности пространство опять плоское (хотя высота ``тарелки'' и бесконечна).

Продолжим решение уравнений. До сих пор мы использовали только одно уравнение ОТО, куда входит слева $ g_{11}$ (и не входит $ g_{00}$), а в правую часть $ T^0_0\sim \rho$.

Очень важно заметить, что до сих пор не подразумевалось, что распределение плотности равновесно. Необходим только покой ( $ \dot \lambda,\,\dot \nu=0$). Скорости равны нулю, а ускорения могут быть любыми. Условие равновесия мы нигде не использовали. Поэтому полученное выражение для $ M$ удобно в дальнейшем использовать для исследования устойчивости звезды.

Вернемся к равновесным звездам. Следующие уравнения (вместе с условиями стационарности $ \dot \lambda,\,\dot \nu=0$), куда входит давление, дадут условие равновесия. Ограничимся случаем паскалевой жидкости

$\displaystyle T^1_1=T^2_2=T^3_3=P. $

В уравнение (1) из раздела 9.1 входит только $ d\nu/dr$, а в (9.2) еще $ d^2\nu/dr^2$. Дифференцируя первое уравнение, исключая $ d^2\nu/dr^2,\,d\nu/dr,\,d\lambda/dr,\,\nu$ и $ \lambda$, после алгебраических преобразований получаем уравнение гидростатического равновесия

$\displaystyle {dP\over{dr}}=-{G\left(\rho+{P\over{c^2}}\right)\left(m+4\pi P{r^3\over{c^2}}\right) \over{r^2\left(1-{{2Gm\over{c^2r}}}\right)}}. $

Напомним, что в ньютоновской теории

$\displaystyle {dP\over{dr}}=-{G\rho m\over{r^2}}. $

Отличия ОТО от ньютоновской теории таковы: 1) вместо $ \rho $ входит $ \rho+P/c^2$, т. е. давление ``весит''; 2) сила притяжения зависит не только от $ m$, но и от $ P$:

$\displaystyle m\longrightarrow m+4\pi Pr^3/c^2 $

(ясно, что эти поправки существенны, когда $ P/c^2$ сравнимо с $ \rho $, т.е. для релятивистского вещества);    3) при $ r\longrightarrow r_g(r)$ имеем $ dP/dr\longrightarrow \infty$, ускорение $ g\longrightarrow\infty$, так как в знаменателе в уравнении равновесия в ОТО стоит $ r(r-r_g)$ вместо ньютоновского $ r^2$.

Надо иметь ввиду, что физический градиент давления равен

$\displaystyle {dP\over{dl}}={dP\over{\sqrt{g_{11}}dr}}\sim{1\over{\sqrt{1-r_g/r}}}, $

поэтому ускорение растет не как $ (1-r_g/r)^{-1}$, а по закону $ (1-r_g/r)^{1/2}$. На нашей двумерной поверхности, ``изображающей'' метрику, при $ r=r_g$ стенки ``тарелки'' становятся вертикальными (рис. 56).

Рис. 56.

Задавшись уравнением состояния $ P(\rho)$, можно интегрировать уравнение равновесия и уравнение непрерывности

$\displaystyle dm=4\pi\rho r^2dr $

при произвольно выбранном значении в центре $ \rho_c$ и соответствующим $ P_c$. При любом разумном уравнении состояния мы получим падающее решение, идущее в нуль на краю звезды.

Что будет, если центральная плотность очень велика ( $ \rho_c\longrightarrow\infty$), не получится ли бесконечная масса? Возьмем степенное уравнение состояния. Пусть $ n$ -- плотность барионов, $ v=1/n,\,E$ -- энергия на барион. В изэнтропическом случае $ dE=-Pdv$. Поскольку $ E=\rho c^2/n$,

$\displaystyle c^2d\left({\rho\over n}\right)=-P\,d\left({1\over n}\right)={P\over{n^2}}\,dn. $

Отсюда

$\displaystyle d\rho=\left(\rho+{P\over{c^2}}\right){dn\over n}. $

Если $ \rho=An^k$, то

$\displaystyle P=c^2(k-1)\rho=(k-1)\varepsilon. $

Здесь мы выписали общее степенное уравнение ($ k=4/3$ -- ультрарелятивистский газ, $ k=2$ -- предельно жесткое уравнение состояния, так как в этом случае скорость звука $ (\partial P/\partial \rho)^{1/2}=c$).

Пусть $ \rho=b/r^2$,

$\displaystyle P=c^2(k-1)\,b/r^2. $

Тогда

$\displaystyle {2Gm\over{c^2r}}=$const$\displaystyle \equiv \alpha={8\pi bG\over{c^2}}. $

Рис. 57.

Подставляя $ \rho,\,P$ и $ m$ в уравнение равновесия, получим

$\displaystyle {\alpha\over{1-\alpha}}={k^2\over{4(k-1)}}, $

т.е. существует решение, где ``тарелка'' идет на конус, но для каждого показателя $ k$ конус имеет свой наклон.

Текущая масса $ m\sim r$, но это справедливо только в области больших плотностей, затем $ \rho $ спадает быстрее, чем $ 1/r^2$, и $ m$ становится конечным. Таким образом, даже при $ \rho_c\longrightarrow\infty$ масса остается конечной! При этом общая масса звезды зависит от того значения плотности $ \rho_1$, при котором уравнение состояния перестает быть степенным, т. е. где нарушается пропорциональность $ P$ и $ \rho $.

Аналитическое исследование для степенных уравнений состояния и численные расчеты показывают, что зависимость $ M(\rho_c)$ ведет себя как на рис. 57, т. е. после первого максимума возникают колебания кривой $ M(\rho_c)$. Анализ показывает, что все решения за первым максимумом неустойчивы. Значение максимальной массы $ M_{\max}$ получается разным при разных уравнениях состояния. Для газа свободных нейтронов Оппенгеймер и Волков получили $ M_{\max}=0,7M_\odot$9.3. Современные расчеты, учитывающие межнуклонные взаимодействия, дают для нейтронных звезд $ M_{\max}= 1,8\div 2,4\,M_\odot$. Еще раз напомним, что масса здесь понимается как источник гравитационного поля для внешнего наблюдателя. Масса того же числа барионов существенно больше $ M_{0\;\max}\sim(2,2\div3,2)\,M_\odot$, так что энергия связи отрицательная. Нейтронные звезды большой массы устойчивы относительно разлета на бесконечность, при их образовании выделяется энергия $ \sim 20\%$ начальной энергии покоя, т.е. величина, во много раз превышающая ядерную энергию.

Задача. Известно, что при предельно жестком уравнении состояния $ P=\rho c^2=$const$ \cdot n^2$ (Я.Б.Зельдович) в ньютоновской теории масса звезды $ M\longrightarrow\infty$ при $ P_c\longrightarrow\infty$. С помощью уравнения гидростатики показать, что в ОТО даже в случае несжимаемой жидкости ( $ P\longrightarrow\infty,\,n=n_0=$const) масса остается конечной при $ P_c\longrightarrow\infty$.


<< 9.2 Движение частиц в ... | Оглавление | 9.4 Общие свойства равновесия ... >>

Публикации с ключевыми словами: Эволюция звезд - внутреннее строение звезд - термоядерные реакции - физические процессы
Публикации со словами: Эволюция звезд - внутреннее строение звезд - термоядерные реакции - физические процессы
См. также:
Все публикации на ту же тему >>

Обсудить эту публикацию
Оценка: 3.0 [голосов: 120]
 
О рейтинге
Версия для печати Распечатать

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце

Астронет | Научная сеть | ГАИШ МГУ | Поиск по МГУ | О проекте | Авторам

Комментарии, вопросы? Пишите: info@astronet.ru или сюда

Rambler's Top100 Яндекс цитирования