Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу 		 

На первую страницу
Физические основы строения и эволюции звезд
<< 9.1 Решение Шварцшильда | Оглавление | 9.3 Сферически-симметричное поле ... >>

9.2 Движение частиц в поле Шварцшильда

Теперь рассмотрим движение частиц в этом поле. По ньютоновской теории для частиц, покоящихся на бесконечности, используя закон сохранения энергии, имеем

$\displaystyle -{GMm\over r}+{mv^2\over 2}=0, $

т. е.

$\displaystyle v^2=GM/r. $

Определим наивно $ r_g$ как радиус, где $ v=c$. Тогда (ср. раздел 1.7)

$\displaystyle r_g={2GM\over{c^2}} $

Этот результат получил еще Лаплас. Подчеркнем, однако, что это не больше чем мнемонический прием. Очевидно, что ньютоновская механика неприменима при $ v\sim c$.

Теперь напишем строго уравнение движения частиц в поле Шварцшильда. В метрике, не зависящей от времени, сохраняется энергия, т. е. компонента $ p_0$ (именно с нижним индексом) 4-вектора импульса частицы:

$\displaystyle p_0=-mc^2\,g_{00}{dx^0\over{ds}}. $

В статическом поле

$\displaystyle ds^2=g_{00}dt^2-dl^2 $

или

$\displaystyle ds=dt\,\sqrt{g_{00}}\sqrt{1-\frac{dl^2}{g_{00}\,dt^2}}. $

Величина

$\displaystyle {dl\over{\sqrt{g_{00}}dt}}={v\over c} $

это скорость, измеренная локальным наблюдателем. Тогда имеем

$\displaystyle p_0={mc^2\sqrt{g_{00}}\over{\sqrt{1-v^2/c^2}}}=$const$\displaystyle $

(это соотношение не зависит от направления $ v$).

Пусть при $ r\longrightarrow\infty\;(g_{00}\longrightarrow 1)$ $ v\longrightarrow 0$, т.е. $ p_0=mc^2$. В этом случае всегда

$\displaystyle 1-v^2/c^2=g_{00}=1-r_g/r\,,\quad v^2=c^2r_g/r\,, $

т.е. в ОТО имеет место связь между $ v$ и $ r$ в точности такая, как в ньютоновской механике и теории тяготения. В частности, $ r_g$ -- это как раз тот радиус, где $ v=c$, если при $ r=\infty,\,v=0$ в такой теории. Если $ v\ne 0$ на бесконечности, то

$\displaystyle 1-{v^2\over{c^2}}=\left(1-{r_g\over r}\right)\left(1-{v^2_{\infty}\over{c^2}}\right). $

Таким образом, в точной теории в ОТО $ v=c$ только на $ r_g$ независимо9.1 от значения $ v=v_{\infty}$ при $ r=\infty$.

Еще раз подчеркнем, что $ v$ -- это скорость, измеренная локальным наблюдателем.

В дальнейшем положим $ c=1$. При движении по радиусу в случае $ v=0$ при $ r\longrightarrow\infty$

$\displaystyle v={dl\over{d\tau}}={\sqrt{g_{11}}\over{\sqrt{g_{00}}}}\,{dr\over{dt}}=\sqrt{{r_g\over r}}. $

Тогда, используя выражение для $ g_{00}$ и $ g_{11}$,

$\displaystyle {dr\over{dt}}=\sqrt{{r_g\over r}}\left(1-{r_g\over r}\right), $

$\displaystyle t=\int\limits_R^{r_g}\sqrt{{r\over{r_g}}}\left(1-{r_g\over r}\right)^{-1}\,dr. $

При падении с конечного $ R$ этот интеграл логарифмически расходится при $ r\longrightarrow r_g$. Отметим, что $ dr/dt$ проходит через максимум и стремится к нулю при $ r\longrightarrow r_g$. Конечно, в шварцшильдовском поле нет отталкивания, хотя $ dr/dt\longrightarrow0$ при $ r\longrightarrow r_g$, так как $ dr/dt$ -- это не скорость.

Существует хорошее сравнение. Если мы будем бросать частицы на черную дыру, то мы увидим, что они замедляют движение и скучиваются вблизи $ r_g$. Эта остановка не соответствует положению равновесия. Представим себе, что снимается на кинопленку прыгун, а потом при просмотре замедляется скорость движения пленки, так что в некоторый момент он остановится. То же самое при движении частиц. Если установить часы на частицах, которые действительно останавливаются в положении равновесия, то часы все равно идут. В случае дыры частицы останавливаются, но останавливаются и часы на них. По собственному времени никаких остановок не происходит. Просто с точки зрения удаленного наблюдателя часы замедляются из-за доплер-эффекта и из-за влияния гравитационного потенциала.

Представим себе падение газа, состоящего из отдельных частиц с точки зрения далекого наблюдателя. Оказывается, что газ скапливается вблизи $ r_g$, но не отдает свою кинетическую энергию. Несмотря на то, что количество скопившегося газа неограниченно возрастает с течением времени, его плотность, измеренная в собственной системе (наблюдателя, движущегося вместе с газом), остается конечной в каждой точке пространства, в частности вблизи $ r_g$.

Задача. Рассчитать радиальное движение для света (фотонов) в метрике Шварцшильда.


<< 9.1 Решение Шварцшильда | Оглавление | 9.3 Сферически-симметричное поле ... >>

Публикации с ключевыми словами: Эволюция звезд - внутреннее строение звезд - термоядерные реакции - физические процессы
Публикации со словами: Эволюция звезд - внутреннее строение звезд - термоядерные реакции - физические процессы
См. также:
Все публикации на ту же тему >>

Обсудить эту публикацию
Оценка: 3.0 [голосов: 120]
 
О рейтинге
Версия для печати Распечатать

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце

Астронет | Научная сеть | ГАИШ МГУ | Поиск по МГУ | О проекте | Авторам

Комментарии, вопросы? Пишите: info@astronet.ru или сюда

Rambler's Top100 Яндекс цитирования