---

<< 2.4 Условие грав. устойчивости | Оглавление | 3. Моделирование звездных дисков >>

Разделы

• 2.5.1 Динамика изгибных возмущений
• 2.5.2 Какой должна быть величина -дисперсии скоростей звезд?
• 2.5.3 Динамика крупномасштабных изгибных возмущений диска, погруженного в массивное гало

---

2.5 Устойчивость диска относительно изгибных возмущений

2.5.1 Динамика изгибных возмущений

В предыдущих разделах были изучены динамика возмущений в плоскости звездного диска и вытекающие из требования устойчивости таких возмущений ограничения на параметры диска. В этом разделе мы остановимся на другом типе возмущений -- изгибающих плоскость звездного диска -- и соответственно найдем те ограничения на параметры диска и системы в целом, которые вытекают из условия устойчивости таких возмущений.

Впервые, по-видимому, динамика изгибных (мембранных) колебаний в моделях холодных тонких дисков была рассмотрена в работе Хантера и Тоомре [231]. Это исследование имело целью объяснение наблюдаемого в ряде изолированных галактик крупномасштабного искривления периферии их дисков. Еще одна проблема, для решения которой необходимо изучение динамики изгибных возмущений, связана с задачей объяснения существенного различия толщин и -дисперсий скоростей объектов звездного и газового дисков в плоских галактиках.

Однако исследованные Хантером и Тоомре [231] модели холодных тонких дисков оказались устойчивыми относительно изгибных возмущений (подробное изложение теории этого вопроса см. в книге Фридмана и Поляченко [2]). В [232] было показано, что для решения упомянутых выше проблем необходимо изучать динамику изгибных возмущений в моделях дисков, горячих в их плоскости.

Очевидно, что такие локальные параметры, как -дисперсия скоростей звезд и толщина диска, должны определяться из условия устойчивости возмущений, масштабы которых малы по сравнению с его толщиной. Соответствующее ВКБ-дисперсионное уравнение изгибных возмущений в простейшей модели однородного тонкого невращающегося звездного слоя можно записать в виде [233]

где - частота возмущений, - их волновое число, - дисперсия скоростей звезд в плоскости слоя. Неустойчивость, очевидно, имеет место для возмущений с длиной волны ( ). Используя связь (2.1.42) полутолщины диска с величинами и , нетрудно записать условие устойчивости в виде

С другой стороны, изгибные возмущения, масштабы которых малы по сравнению с толщиной диска, также должны быть устойчивыми [232]. Это означает, что существует минимально необходимая для устойчивости диска величина отношения . Поскольку же дисперсия радиальных скоростей звезд ограничена снизу условием гравитационной устойчивости диска, то и величина -дисперсии скоростей звезд и связанная с ней толщина диска не могут быть сколь угодно малыми. Определению максимального значения анизотропии в распределении скоростей звезд, обусловленного требованием устойчивости диска относительно изгибных возмущений, посвящен п. 2.5.2.

Динамика крупномасштабных изгибных возмущений, охватывающих весь диск, должна, очевидно, изучаться с учетом вращения и структуры диска в целом. Такое исследование для ряда моделей тонких дисков [234] показало, что наиболее крупномасштабные моды могут быть неустойчивыми, если равновесие дисков в радиальном направлении обеспечивается в основном давлением (а не вращением). С уменьшением вклада давления в условие равновесия наиболее крупномасштабные моды стабилизируются, а более коротковолновые остаются неустойчивыми. Этот результат вместе с дисперсионным уравнением (2.5.1) показывает, что неустойчивость изгибных возмущений диска в некотором смысле является дополнительной к гравитационной неустойчивости возмущений в плоскости диска. Действительно, гравитация дестабилизирует возмущения в плоскости диска и стабилизирует изгибные; давление оказывается стабилизирующим фактором для возмущений в плоскости диска и дестабилизирующим для изгибных. Поэтому можно было бы ожидать, что самые крупномасштабные изгибные моды будут, в отличие от возмущений в плоскости диска (см. гл. 3), дестабилизироваться достаточно массивной сфероидальной подсистемой. Обсуждению этого вопроса посвящен п. 2.5.3.

2.5.2 Какой должна быть величина -дисперсии скоростей звезд?

Определим, следуя Поляченко и Шухману [235], максимальную анизотропию скоростей в звездном диске. Поскольку вращение существенно только для возмущений, масштабы которых сравнимы с радиусом диска, исходим из простой модели бесстолкновительного невращающегося плоского слоя конечной толщины [236], описываемой функцией распределения

где - плотность, - полутолщина слоя, , а может быть произвольной функцией своих аргументов.

Считаем возмущения длинноволновыми в том смысле, что характерный масштаб возмущения в плоскости слоя велик по сравнению с его полутолщиной (). Однако параметр не предполагаем малым. Ориентируем ось вдоль направления волнового вектора. Тогда зависимость от в невращающемся слое становится несущественной и задача сводится к двумерной.

Представим функцию распределения по в виде суперпозиции потоков

и рассмотрим сначала один поток со скоростью и плотностью . Возмущенную функцию распределения для этого потока ищем в виде

Подстановка этого выражения в линеаризованное кинетическое уравнение приводит к следующим уравнениям для функций , B:

где -- возмущенный гравитационный потенциал и

Оценивая соотношение величин B и из (2.5.7), нетрудно видеть, что первый в правой части (2.5.6) член в пределе мал по сравнению со вторым (их отношение порядка ) и, следовательно, может быть опущен. Легко также проверить, что в этом пределе для изгибных возмущений локальная плотность не возмущается () и поэтому следует положить . Тогда из (2.5.6) получаем

где . В (2.5.9) опущено слагаемое, пропорциональное , как не дающее вклада ни в смещение границы слоя, ни в его объемную плотность.

Смещение границы слоя определяем из условия

Отсюда следует

Вычислим теперь соответствующее (2.5.10) возмущение гравитационного потенциала. Для этого сошьем решения уравнения

при в соответствии с граничными условиями

Отсюда с точностью до членов порядка включительно получаем дисперсионное уравнение для рассматриваемого потока

Суммируя это выражение по всем потокам, приходим к искомому дисперсионному уравнению:

Для конкретных вычислений исходим из шварцшильдовской функции распределения . В этом случае дисперсионное уравнение (2.5.14) приводится к виду

где - функция Крампа [237]. Дисперсию скоростей в -направлении определим следующим образом. Давление по равно , так что температура . Усредняя эту величину по толщине слоя, получим . Поэтому для анизотропии в распределении звезд по скоростям имеем

При из (2.5.15) нетрудно получить упрощенное дисперсионное уравнение (2.5.1). Из него следует, что шланговая^2.14 (анизотропная) неустойчивость изгибных возмущений слоя имеет место при . В то же время возмущения, характерный масштаб которых мал по сравнению с толщиной слоя, должны быть устойчивы, и, следовательно, область неустойчивости должна быть ограничена со стороны "больших" . Для точного определения границ этой области положим в (2.5.15) . Получающееся уравнение может быть приведено к виду

где ; - интеграл Досона. Нетрудно видеть, что при уравнение (2.5.17) имеет два решения, и . Таким образом, область неустойчивых длин волн в пределе ограничена полосой . С уменьшением параметра эта область сужается и, как показывает численное решение (2.5.17), исчезает при (рис. 2.9). В приложении к галактикам следует, очевидно, считать , поскольку [см. (2.1.36)]. Это означает, что звездные диски плоских галактик должны быть устойчивы при

Данные наблюдений в околосолнечной окрестности Галактики не противоречат оценке (2.5.18) -- согласно [53,56,57] в среднем по не слишком молодым звездам . Таким образом, в солнечной окрестности Галактики звездный диск устойчив [согласно (2.5.18) -- с запасом] относительно изгибных возмущений промежуточных масштабов ( - радиус диска Галактики). То же самое можно, по-видимому, утверждать и в отношении звездных дисков других плоских галактик [64,65]. Обсуждение результатов численных экспериментов можно найти в разд. 3.4.

2.5.3 Динамика крупномасштабных изгибных возмущений диска, погруженного в массивное гало

Для изучения динамики захватывающих весь диск плоской галактики крупномасштабных изгибных мод необходимо, очевидно, учитывать структуру диска и окружающей его сферической подсистемы в целом. Аналитическое решение такой задачи возможно только на достаточно простых моделях, и в этом разделе мы опишем первые результаты такого типа исследований [238].

Представим модель галактики в виде двухосного твердотельно вращающегося звездного эллипсоида однородной плотности с полуосями , , погруженного в протяженное однородное сферическое гало. Равновесный гравитационный потенциал внутри эллипсоида (модели диска) равен

где ; ; -- масса гало в области , а величины , , зависят от плотности, отношения полуосей эллипсоида и отношения масс подсистем (явные выражения для них можно найти в монографии Фридмана и Поляченко [2]).

Ограничимся изучением динамики трех наиболее крупномасштабных мод:

а) ("купол")

б) ("сомбреро")

в) ("седло")

где -- возмущение гравитационного потенциала, а коэффициенты , , зависят только от времени (названия "купол", "сомбреро" и "седло" обусловлены формой возмущения плоскости симметрии эллипсоида).

Эти моды интересны прежде всего как наиболее крупномасштабные и потому, как правило, самые опасные с точки зрения потери устойчивости. Кроме того, следует ожидать, что поведение подобных мод, захватывающих целиком всю систему, определяется небольшим числом ее "глобальных" параметров. Это означает, что исследование устойчивости рассматриваемой модели относительно возбуждения перечисленных выше мод не потребует конкретизации функции распределения -- достаточно лишь будет знать несколько главных ее моментов. Для рассматриваемой модели однородного эллипсоида выражения для линейных и квадратичных по скоростям моментов определяются однозначно, если только предположить изотропию в распределении скоростей в плоскости вращения. Упомянутые моменты имеют вид

Из этих выражений ясно, что исследуемая нами модель описывается тремя "глобальными" параметрами: отношением полуосей эллипсоида ; отношением масс гало и диска (эллипсоида) и параметром , равным отношению угловой скорости вращения горячего эллипсоида к угловой скорости вращения холодного эллипсоида [таким образом, величина определяет вклад вращения в радиальное равновесие эллипсоида, а () -- вклад "давления" ( )].

Метод исследования устойчивости стандартен [2,236]. Сначала из уравнений для лагранжевых смещений эти величины выражаются через возмущенный потенциал . Затем вычисляются возмущения плотности и нормальное смещение границы эллипсоида. Решая затем уравнение Пуассона и сравнивая получившийся потенциал с исходным (2.5.20)-(2.5.22), приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов, входящих в выражение для возмущенного потенциала. Приравнивая, наконец, нулю определитель такой системы, получаем искомое дисперсионное уравнение.

Дисперсионные уравнения для указанных выше мод (2.5.20) (2.5.22) решались численно (они довольно громоздки и здесь не приводятся). Результаты их решения приведены на рис. 2.10,а-в, соответствующих различным значениям параметра . Из этих рисунков видно, что в дисковом пределе ( ) каждая из мод неустойчива при достаточно большой дисперсии скоростей звезд (области под кривыми). С увеличением "толщины" эллипсоида область неустойчивости по параметру сначала растет (т.е. неустойчивыми становятся все более "холодные" системы), а затем довольно быстро исчезает.

Заметим, что резкий спад кривых -- границ областей неустойчивости на рис. 2.10 происходит при такой сплюснутости эллипсоида , для которой в используемой однородной модели имеются резонансы между частотами колебаний звезд поперек плоскости эллипсоида и в плоскости его вращения. Для мод и есть резонанс , а для моды -- резонанс . Столь сильное влияние этих резонансов связано, очевидно, с идеализацией модели. Для реальных дифференциально вращающихся систем эти кривые будут иметь более гладкий вид.

Как видно из рис. 2.10, мода (седло) сравнительно мало подвержена влиянию резонанса. Существенно, однако, что именно эта мода обладает самой большой областью неустойчивости по при . Важно также отметить, что с увеличением массы гало область неустойчивости по параметру сплюснутости эллипсоида сужается (неустойчивыми остаются только сильно сплюснутые системы). Однако для моды даже при очень больших значениях массы гало ( ) эллипсоид неустойчив вплоть до , т.е. значений, характерных для плоских подсистем спиральных галактик. Тем самым можно говорить о выделенности седлообразной моды среди других мод изгибного типа. Заметим, что аналогичное положение имеет место и для возмущений, не изгибающих плоскость диска -- здесь тоже оказывается выделенной бароподобная мода .

В целом наиболее важным результатом является обнаружение зависимости положения границ областей неустойчивости от массы гало: при достаточно большой массе гало неустойчивыми могут стать системы с малой дисперсией скоростей в плоскости эллипсоида [с малым ()]. В этом и состоит дестабилизирующая роль гало.

В то же время с ростом массы гало необходимая для гравитационной устойчивости диска дисперсия скоростей звезд в его плоскости убывает: (см. гл. 3 и рис. 3.8). Поэтому может оказаться, что дестабилизирующая (по отношению к крупномасштабным изгибным возмущениям) роль массивного гало не проявится. Исследуем этот вопрос подробнее [239,240].

Предположим, что звездный диск обладает запасом гравитационной устойчивости , который мы определим как отношение наблюдаемой к получаемой в численных экспериментах [полагаем, что соответствует границе гравитационной устойчивости]. Тогда везде за пределами центральной части диска

С другой стороны, в рамках исследованной Поляченко и Шухманом [238] модели в плоскости [см. (2.5.23)] имеем

где . Сравнивая эти выражения, получим

Состояние с физически выделено -- оно соответствует границе гравитационной устойчивости. Предположим теперь, что диск находится в состоянии, соответствующем наивысшей точке границы неустойчивости по отношению к самой опасной (при ) изгибной моде . Это означает, что (см. рис. 2.10), и тогда согласно (2.5.26) . Результат вычисления этой величины может быть как больше, так и меньше единицы. Пусть, например, . Чтобы понять, что это означает, заметим, что определяемая (2.5.26) величина при фиксированных , является монотонно убывающей функцией параметра : . Тогда в галактиках с будет, очевидно, . И наоборот, если , то в дисках галактик с будет . В первом случае диск будет обладать некоторым запасом устойчивости по отношению к самой опасной изгибной моде , во втором -- неустойчив относительно этой моды. Таким образом, если в результате вычислений окажется , то неустойчивость изгибных мод маргинально гравитационно устойчивого диска подавлена.

Результаты вычислений величины приведены на рис. 2.11 [заметим, что в рамках рассматриваемой модели параметр (см. рис. 2.10) выходит при на асимптотическое значение ]. Видно, что неустойчивыми оказываются только периферийные области систем с малым . В системах же с крупномасштабные изгибные моды оказываются застабилизированными [области, близкие к периферии эллипсоида ( ), не изучались, поскольку в рамках рассматриваемой модели в противоречие с данными наблюдений они слишком холодны: при ]. Таким образом, следует ожидать, что в галактиках с достаточно массивным гало неустойчивость крупномасштабных изгибных мод не будет проявляться.

---

<< 2.4 Условие грав. устойчивости | Оглавление | 3. Моделирование звездных дисков >>

Публикации с ключевыми словами: аккреционный диск - диск, галактический - гидродинамика - спиральная структура Публикации со словами: аккреционный диск - диск, галактический - гидродинамика - спиральная структура
См. также: Аккреционный диск черной дыры: визуализация Дважды искривленный мир двойных черных дыр Спиральный диск вокруг черной дыры В центре спиральной галактики NGC 3521 Массивная черная дыра разрывает пролетающую звезду Ультрафиолетовые кольца M31 Близкая массивная спиральная галактика NGC 2841 Все публикации на ту же тему >>