Астронет > Размерности и подобие астрофизических величин

по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод по каталогу

Размерности и подобие астрофизических величин << § 7.1 Система уравнений и параметры звездных систе | Оглавление | § 7.3 Волны плотности во вращающихся галактиках >>

§ 7.2 Время релаксации звездных систем

Важнейшей проблемой динамики звездных -систем является определение ее характерного времени релаксация, которую мы будем обозначать через t_E. Это определение связано с различием между регулярными и иррегулярными силами в звездных системах. Общая теория излагалась во многих работах и книгах (см., например, [3]). Здесь мы ограничимся лишь простой трактовкой, основанной ла теории анализа размерностей и качественных соображениях

Силы, действующие на движение звезд в звездных системах, можно разделить на два типа. Регулярные силы возникают от действия общего, так называемого самосогласованного, гравитационного поля всей системы. Под действием этой силы звезда описывает в системе некоторую более или менее правильную орбиту. Например, во вращающейся спиральной галактике звезды описывают почти круговые орбиты под действием регулярного гравитационного поля. В квазисферичеоких звездных системах тоже имеются регулярные орбиты, но они могут быть существенно более эллиптичными. Характерный период движения звезд под действием регулярных сил называется временем пересечения P в скоплениях или периодом обращения 2π / Ω во вращающихся галактиках. Содержание предыдущего параграфа есть, по существу, определение характерного времени регулярных сил.

Регулярные силы определяют характерную величину регулярных скоростей, примерно равную v_R ≈ R/P или v_R = RΩ для скоплений или вращающихся галактик соответственно. Поэтому можно написать

$v_{R}^{2} = \frac{1}{\Pi} \frac{G \mathcal{M}}{R}$ (7.18)

если воспльзоваться определениями (7.8) и (7.9). Можно определить и величину безразмерного комплекса Π, если воспользоваться теоремой вириала или какими-нибудь другими соображениями. Например, для строго вращательного движения сила гравитационного притяжения на краю системы $(G \mathcal{M} / R^{2})$ должна равняться ценробежной силе v_R² / R. Здесь Π = 1. Однако из теоремы вириала параметр Π имеет большее значение, строго говоря зависящее от геометрии системы. Для однородных сферических систем гравитационная потенциальная энергия

$U = -\frac{G}{2} \sum\limits_{i, j = 1, i \ne j}^{N} \frac{M_{i}M_{j}}{r_{ij}} \approx - \frac{G \mathcal{M}^{2}}{2R}$ (7.19)

и кинетическая энергия

$W = \sum\limits_{i=1}^{N} \frac{1}{2} M_{i} v_{i}^{2} \approx \frac{1}{2} \mathcal{M} v_{R}^{2}$ (7.20)

Из теоремы вириала следует, что &Pi = 2, т.е

$v_{R}^{2} = \frac{G \mathcal{M}}{2R}$ (7.21)

Этим соотношением мы и будем пользоваться

Теперь перейдем к анализу иррегулярных сил ,и скоростей. Они связаны со сближениями отдельных звезд, при которых скорости этих звезд испытывают значительные изменения. Изменение скорости при сближениях имеет стохастический характер и поэтому заметен лишь суммарный эффект многих сближений. Действие иррегулярных сил описывается характерным временем релаксации t_E, т. е. промежутком времени, в течение которого заметно изменится скорость звезды под действием стохастических сближений, либо соответствующей длиной свободного пробега, обозначаемой в дальнейшем через l_E.

Элементарное определение l_E можно получить следующим образом. Очевидно, что эта величина равна

$l_{E} \approx (\overline{n} \pi s^{2} \Lambda)^{-1}$ (7.22)

где $\overline{n}$ , по-прежнему, концентрация звезд, π s² - эффективное сечение звездных сближений, Λ - кулоновский логарифм, учитывающий вклад далеких сближений. Для определения параметра s - прицельного расстояния сближения - поступим следующим образом. Будем считать сближение эффективным, если при этом скорость возрастет не менее, чем на некоторую заданную величину v_i. Приравнивая приращение кинетической энергии звезды со средней массой $\frac{1}{2} \overline{M} v^{2}_{i}$ потенциальной энергии сближения на прицельном расстоянии GM² / s получим

$s = \frac{2GM}{v_{i}^{2}}$ (7.23)

Подставляя в (7.22) также $n = \overline{n} = \frac{3N}{4 \pi R^{3}}$ и учитывая (7.21), где $\mathcal{M} = N \overline{M}$ , получим

$l_{E} = \left( \frac{v_{i}}{v_{R}} \right)^{4} \frac{RN}{12 \Lambda}$ (7.24)

В квазисферических невращающихся системах иррегулярные силы оказывают заметное действие тогда, когда скорости v_i оказываются сравнимыми с v_R. Кроме того, как показывает расчет, в таких системах с большим числом частиц кулоновский логарифм в первом приближении равен Λ = ln N [3]. Таким образом,

$\frac{l_{E}}{R} \approx \frac{N}{12 \ln N}$ (7.25)

Численноый коэффициент 1 / 12 несколько изменяется при более рафинированном расчете.

В плоских вращающихся галактиках эффект иррегулярных сил приводит к меньшему изменению скоростей, чем величина v_R, которая здесь соответствует линейной скорости вращения. Под v_I, тут следует понимать дисперсию пекулярных скоростей звезд. Наблюдательные данные показывают, что в быстро вращающихся плоских галактиках отношение v_I / v_R очень мало, вероятно, меньше 1/10. Поэтому для спиральных галактик отношение l_E / R должно быть порядка 10^-5 N / ln N. Но эта величина все же на много порядков больше единицы, так как N ≈ 10¹⁰ - 10¹² .

Величина длины свободного пробега заметно уменьшается при учете неоднородности звездной системы. Это можно увидеть сразу же из формул (7.22) и (7.23). Допустим, что в звездной системе есть большие флуктуации плотности числа звезд, т. е. система неоднородна. Пусть масса каждой флуктуации порядка M_ф (M_ф » $\overline{M}$ ) и примем, что число таких флуктуации на единицу объема есть n_ф. Для оценки длины свободного пробега также можно использовать формулу (7.23), заменив в ней $\overline{M}$ на M_ф. В результате получим для длины свободного пробега

$l_{E} = \frac{v_{I}^{4}}{4 \pi n_{\Phi}(GM_{\Phi})^{2}} \approx \frac{v_{I}^{4}}{4 \pi \overline{n}(G\overline{M})^{2}} \frac{\overline{M}}{M_{\Phi}}$ (7.26)

Здесь принято, что средняя плотность массы во флуктуациях, т. е. величина n_фM_ф, не слишком сильно отличается от средней плотности звезд вообще, т. е. от величины $\overline{nM}$ . Кроме того, при рассеянии звезд на больших флуктуациях кулоновекий логарифм Λ порядка единицы. Из (7.26) сразу видно, что в неоднородной системе, в которой звезды распределены в виде совокупности звездных облаков, каждое из которых содержит очень большое число звезд (M_ф » $\overline{M}$ ), длина свободного пробега уменьшается очень сильно. Если бы вся галактика состояла яз звездных скоплений с массой порядка 10⁵ маос Солнца, то можно было бы получить длину свободного пробега, сравнимую с ее размером. Однако на самом деле звездный фон в галактиках существенно однороднее и здесь всегда l_E » R.

При численном моделировании часто рассматривают идеально плоскую систему; считается, что все звезды движутся в одной плоскости. Поэтому соотношение между длиной свободного пробега и R оказывается существенно другим [4]. Вместо (7.22) имеем

$l_{E} = (\overline{n_{S}}2s \Lambda)^{-1}$ (7.27)

поскольку эффективное сечение взаимодействия представляет собой отрезок в плоскости движения, равный 2s, где s по-прежнему, прицельное расстояние. Полагая $\overline{n_{s}} = \frac{N}{\pi R^{2}}$ и учитывая (7.23) и (7.21), получим

$l_{E} = \left( \frac{v_{I}}{v_{R}} \right)^{2} \frac{\pi R}{8 \Lambda} = \left( \frac{v_{I}}{v_{R}} \right)^{2} \frac{\pi R}{8 \ln N}$ (7.28)

Здесь l_E « R, даже если v_I сравнимо с v_R- Определение (7.28) для длины свободного пробега применимо и к физически реальным системам, если параметр s из (7.23) сравним или меньше толщины системы (здесь v_I - дисперсия скоростей в плоскости движения).

Характерное время релаксации определяется как отношение длины свободного пробега к средней скорости движения звезд. Однако мы определим эту величину другим способом, используя соображения анализа размерностей. Это сделано в книге [5], но мы воспользуемся другим методом.

Прежде всего выделим основные определяющие параметры. Иррегулярные силы, приводящие к релаксации системы, зависят от постоянной G, маос отдельных звезд, т. е. $\overline{M}$ , концентрации звезд $\overline{n}$ и некоторой средней скорости частиц, которую мы пока обозначим через v ′. Искомая величина t_E имеет размерность времени. Из этих определяющих параметров составим матрицу размерности

$\begin{matrix} \, & [G] & [\overline{M}] & [\overline{n}] & [v^{\prime}] & [t_{E}] \\ \mbox{г} & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \mbox{см} & 3 & 0 & -3 & 1 & 0 \\ \mbox{сек}&-2 & 0 & 0 & -1 &1 \end{matrix}$

Ранг матрицы равен трем, т. е. есть два независимых безразмерных комплекса. Можно их выбрать произвольным образом, используя те или иные физические соображения. Во-первых, составим эти комплексы так, чтобы t_E входило бы в них в первой степени. Во-вторых, один из комплексов составим без скорости v ′. Тогда получим

$\Pi_{1} = t_{E} (G \overline{M} \overline{n})^{1/2}$ (7.29)

Во втором комплексе оставим все определяющие параметры, но потребуем, чтобы величина t_E была бы обратно пропорциональна концентрации звезд, иными слoвами, в этот комплекс входило бы произведение $t_{E} \overline{n}$ . Тогда имеем

$\Pi_{2} = t_{E} \overline{n} (G \overline{M})^{2} (v^{\prime})^{3}$ (7.30)

В таком определении может заключаться некоторый произвол, но, как мы увидим ниже, этот выбор действительно оправдан. Сопоставим безразмерный комплекс (7.29) с соотношением (7.13). Отсюда сразу следует, что если t_E порядка времени пересечения P, то Π₁ - порядка единицы. Но мы уже знаем, что у систем с большим числом звезд длина свободного пробега много больше характерных размеров и, следовательно, время релаксации должно быть много больше времени пересечения. Поэтому в таких системах Π₁ » 1, и этот безразмерный комплекс не может характеризовать определение времени релаксации.

Остается безразмерный комплекс (7.30), откуда следует

$t_{E} \approx \frac{\Pi^{2} (v^{\prime})^{3}}{\overline{n}(G \overline{M})^{2}}$ (7.31)

где Π₂ не может очень сильно отличаться от единицы. Как уже отмечалось, здесь есть некоторый произвол, связанный с тем, что мы считали $t_{E} \sim \overline{n}^{-1}$ . Но это очевидно, так как чем больше концентрация звезд, тем меньше и время релаксации. Кроме того, здесь учтено, что релаксация происходит при взаимодействии отдельных звезд, т. е. как бы при их "столкновениях". Частота столкновений всегда обратно пропорциональна концентрации.

Сопоставляя (7.31) с (7.24) и (7.25), а также учитывая определение времени пересечения (7.13), можно получить соотношение

$\frac{t_{E}}{P} \approx \frac{t_{E}}{R} \approx \frac{N}{12 \ln N}$ (7.32)

при соответствующем выборе численного значения безразмерного комплекса Π₂ (пропорционального (ln N)^-1) и условии v ′ = v_R из (7.21). Это соотношение мы и примем за определение характерного времени релаксации для квазисферических невращающихся скоплений.

Характерное время релаксации в плоских спиральных галактиках связано с длиной свободного пробега (7.26) подобным соотношением, если считать скорость v ′ в (7.31) равной скорости v_I в (7.24). Вместо времени пересечения здесь следует учесть период обращения. Получаем следующую формулу, учитывающую также наличие флуктуации массы:

$t_{E} \approx \left( \frac{v_{I}}{v_{R}} \right)^{3} \frac{N}{\Omega} \frac{\overline{M}}{M_{\Phi}}$ (7.33)

Здесь под v_I, следует понимать пекулярную скорость звезд, а v_R, есть линейная скорость вращения галактики. Если сюда подставить v_R ≈ R Ω , а вместо N ввести среднюю поверхностную концентрацию звезд $\overline{n}$ , то получим следующее соотношение

$t_{E} \approx \frac{v^{3}_{I} \overline{n_{S}}}{R \Omega^{4}} \frac{\overline{M}}{M_{\Phi}}$ (7.34)

Эту формулу можно применять для оценки релаксации звезд разного типа в галактиках.

Резюмируя все сказанное о времени релаксации звездных систем, можно сделать следующий общий вывод. В квазисферических невращающихся звездных скоплениях, состоящих из сотен (до тысячи) звезд, характерное время релаксации сравнимо со временем пересечения звездой диаметра скопления. Такие системы быстро релаксируют и все время находятся в квазиравнозесном состоянии. Квазисферические невращающиеся системы, состоящие из сотен тысяч звезд (шаровые скопления), имеют большое время релаксации, много большее, чем время пересечения. Впрочем, за достаточно большой промежуток времени и эти системы успевают достигнуть квазиравновесного состояния.

В спиральных плоских галактиках, состоящих из сотен миллиардов звезд, время релаксации при сближениях отдельных звезд очень велико и не может привести к заметному перераспределению скоростей звезд. Здесь нет поэтому и квазиравновесного состояния всей системы. Однако определенное перераспределение энергии все же имеет место благодаря коллективным процессам в таких системах.

Эволюция квазисферических невращающихся скоплений с N ≈ 10²-10⁵ и плоских спиральных галактик с N ≈ 10¹⁰-10¹² принципиально различна. В скоплениях эволюция приводит к вылету звезд из скопления, а в плоских вращающихся галактиках эволюция связана с возникновением волн плотности - спиральных рукавов.

Проблеме вылета звезд из скопления было посвящено много работ, начиная с первой работы В. А. Амбарцумяяа [6] (см. также [3]).

В наиболее простой постановке задача расчета скорости вылета звезд из скопления выглядит следующим образом. Допустим, что за время, равное времени релаксации t_E, в звездной системе устанавливается максвелловское распределение скоростей со средней характерной скоростью (7.21). При этом некоторая часть звезд приобретает скорость, большую параболической:

$v_{\infty}^{2} = \frac{2G \mathcal{M}}{R} = 4v_{M}^{2}$ (7.35)

Если считать, что при v > v_∞ распределение скоростей максвелловское, то относительное число звезд со скоростями, большими параболической равно [6]

$S = \frac{\int\limits_{v_{\infty}}^{\infty} e^{-v^{2}/v_{R}^{2}}v^{2}dv}{\int\limits_{0}^{\infty} e^{-v^{2}/v_{R}^{2}}v^{2}dv} = \frac{\int\limits_{2}^{\infty} e^{-x^{2}}x^{2}dx}{\int\limits_{0}^{\infty} e^{-x^{2}}x^{2}dx}$ (7.36)

Звезды со скоростями, большими параболической, покидают скопление и поэтому можно считать, что за время одной релаксации скопление теряет 0,74% от полного числа звезд.

Более подробный анализ должен учитывать, что характерное время релаксации различно для звезд разной массы, и поэтому скопление теряет по-разному легкие и тяжелые звезды. Чандраcекаром [3] было показано, что если предположить, что звезды разной массы распределены равномерно по объему скопления, то в первую очередь вылетают звезды с массой около $0.4 \overline{M}$ , причем за среднее время релаксации вылетают 3-4% от полного числа таких звезд. Звезды с массой около $0.1 \overline{M}$ вылетают с такой же скоростью, что и звезды со средней массой $\overline{M}$ , т. е. их вылетает 0,74% за одно среднее время релаксации. С другой стороны, звезды очень малых ( $0.05 \overline{M}$ ) или больших ( $1.4 \overline{M}$ ) масс вылетают .медленно - за одно время релаксации теряется 0,1-0,2% от полного числа таких звезд.

Впрочем, предположение о равномерности распределения звезд по объему скопления или хотя бы о подобности такого распределения для звезд разных масс, вероятно, далеко от реальности. Звезды больших масс должны концентрироваться к центральной части скопления, а легкие звезды чаще встречаются на периферии. В результате скорости потерь звезд разной массы выравниваются. Оценки этого явления, сделанные разными авторами [7, 8, 9], расходятся и поэтому для простоты можно ограничиться первым условием - скопление теряет 0,7-0,8% от полного числа звезд за одно время релаксации.

Поскольку вылетающие звезды уносят с собой положительную энергию, то абсолютное значение отрицательной полной энергии скопления все время растет (примерно на 0,52% за время релаксации) и скопление становится со временем плотнее и компактнее. Возможно, что при этом происходит некоторое обогащение скопления тяжелыми звездами.

<< § 7.1 Система уравнений и параметры звездных систе | Оглавление | § 7.3 Волны плотности во вращающихся галактиках >>

Мнения читателей [4]

Версия для печати

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце