по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод по каталогу

Размерности и подобие астрофизических величин << § 6.4 Численное моделирование вспышек и коллапса звезд | Оглавление | § 7.2 Время релаксации звездных систем >>

Глава VII. Анализ размерностей и численное моделирование звездных систем

Теория анализа размерностей и подобия может применяться и в звездной астрономии, занимающейся изучением динамики звездных систем. Некоторые задачи на применение методов анализа размерностей к звездным системам были рассмотрены в гл. 2. Здесь мы более подробно рассмотрим методы анализа размерностей и особенно численное моделирование применительно к звездным системам, рассматриваемым как скопление материальных точек, движущихся под действием взаимного гравитационного притяжения. Столкновениями звезд будем пренебрегать. Как и в предыдущих главах, мы не претендуем на полное изложение теории звездных систем, основное внимание уделено вопросам анализа размерностей и численному моделированию.

§ 7.1 Система уравнений и параметры звездных систем

Термином "звездная система" можно обозначать скопления звезд с самым различным их числом - от нескольких звезд в кратных системах до галактик с сотнями миллиардов звезд. К звездным системам можно отнести и скопления галактик. Общим для всех этих систем является то, что их строение и эволюция определяются только силами взаимного гравитационного притяжения. Основная система уравнений, описывающая такие объекты, есть

$\frac{d^{2}r_{i}}{dt^{2}}= - G \sum\limits_{j=1}^{N} \frac{M_{j}}{r^{3}_{ij}} r_{ij}$ (7.1)

Здесь r_i - радиус вектор i звезды (или галактики), M_i - ее масса, r_ij=r_i-r_j, N - число звезд или галактик в системе. Анализом следствий, вытекающих из уравнений (7.1), и методов их численного решения мы и будем заниматься.

Для этого нам будет удобнее все многообразие звездных систем разбить на две основные группы:

1. Звездные системы, состоящие из относительно небольшого числа звезд (N ≈ 10-10⁵). К ним относятся галактические скопления и скопления галактик. Форма таких систем более или менее сферична, заметного вращения у них нет. Впредь мы будем называть такие системы просто скоплениями, считать их сферичными и предполагать,что они не вращаются.

2. 1.Спиральные галактики, показывающие очень уплощенную структуру (толщина в 10-20 раз меньше диаметра). Такие системы быстро вращаются, но само вращение неоднородно (нетвердотельно). Число звезд в спиральных галактиках N ≈ 10¹⁰-10¹². В дальнейшем такие системы, которые мы будем называть просто галактиками, будут считаться очень плоскими и быстро вращающимися, так что их структура в первую очередь определяется именно условиями вращения.

Разумеется, этими двумя группами отнюдь не исчерпывается разнообразие звездных систем. Есть эллиптические галактики, в том числе и сферической формы, без заметного вращения, но имеющие 10¹⁰ и более звезд. Очень разнообразны геометрические формы галактических скоплений. Известны случаи систем негравитационно взаимодействующих галактик. Даже сильно уплощенные спиральные галактики состоят из подсистем, в число которых входят промежуточные и сферические подсистемы. Разумеется, все эти особенности также нуждаются в теоретической интерпретации.

Однако, еще раз подчеркиваем, с точки зрения исследования общих свойств звездных систем на основе теории анализа размерностей и подобия и для постановки численного моделирования звездных систем достаточно рассмотреть два их типа - квазисферические невращаюшиеся системы с относительно небольшим числом звезд и быстро вращающиеся плоские галактики с очень большим числом звезд.

Звездные системы мы будем характеризовать их полной массой

$\mathcal M = \sum\limits_{i=1}^{N} M_{i} = N \overline{M}$ (7.2)

где $\overline{M}$ - средняя масса звезды. Строго говоря, динамика звездных систем зависит и от распределения звезд по массам. Пусть f(M)dM - нормированное на N число звезд в скоплении с массами от M до M+dM. Тогда

$\overline{M} = \frac{1}{N} \int\limits_{0}^{\infty} f(M)dM$ (7.3)

Во многих случаях мы не будем учитывать различие масс звезд. Тогда мы будем считать все звезды имеющими одинаковую массу $\overline{M}$ . Но в некоторых задачах учет функции f(M) обязателен. Вторым важным параметром является радиус системы R. Пространственное распределение звезд в звездных системах, как правило, неоднородно. Часто имеет место концентрация звезд к центру. Тем не менее можно вести среднюю концентрацию звезд - объемную (среднее число звезд в единице объема) для скоплений и поверхностную (среднее число звезд на единицу поверхности) в галактиках. Имеем для средней объемной концентрации

$\overline{n} = \frac{3N}{4 \pi R^{3}}$ (7.4)

и для средней поверхностной концентрации

$\overline{n_{S}} = \frac{N}{\pi R^{2}}$ (7.5)

Также не однородно и вращение галактик, и здесь можно ввести параметр $\overline{\Omega}$ - среднюю угловую скорость вращения. В невращающихся звездных системах параметра Ω нет, но удобно ввести параметр характерного времени пересечения одной звездой всего скопления, обозначаемый в дальнейшем через P. Добавляя ко всем размерным параметрам и безразмерный параметр N - число звезд в скоплении, имеем следующие наборы характерных параметров звездных систем:

1. Скопления

$G, \mathcal{M}, R, \overline{n}, P, N$ (7.6)

2. Галактики

$G, \mathcal{M}, R, \overline{n_{S}}, \Omega, N$ (7.7)

Здесь только $\overline{n}$ и $\overline{n_{S}}$ могут быть выражены через комбинации других параметров.

Из комбинаций независимых размерных параметров (7.6) и (7.7) могут быть составлены только по одному безразмерному комплексу. Имеем матрицу размерности для скоплений:

$\begin{matrix} \, & [G] & [\mathcal{M}] & [R] & [P] \\ \mbox{г}&-1&1&0&0 \\ \mbox{см}&3&0&1&0 \\ \mbox{сек}&-2&0&0&1 \end{matrix}$

Отсюда следует безразмерный комплекс

$\Pi = (G \mathcal{M})^{1/2} R^{-3/2} P \approx (G \overline{Mn})^{1/2} P$ (7.8)

Матрица размерности для галактик имеет вид

$\begin{matrix} \, & [G] & [\mathcal{M}] & [R] & [\Omega] \\ \mbox{г} & -1 & 1 & 0 & 0 \\ \mbox{см} & 3 & 0 & 1 & 0 \\ \mbox{сек}&-2 & 0 & 0 & -1 \end{matrix}$

Ей соответствует безразмерный комплекс

$\Pi = (G \mathcal{M})^{1/2} R^{-3/2} \overline{\Omega}^{-1}$ (7.9)

Как обычно, численные значения безразмерных комплексов методами теории размерности не определяются, но из того факта, что имеется лишь по одному безразмерному комплексу, следует, что в первом приближении величины Π должны быть порядка единицы. Строго говоря, безразмерные комплексы Π, определенные формулами (7.8) и (7.9), должны в первую очередь зависеть от геометрии системы и лишь существенно слабее от числа звезд в этой системе. Чтобы в этом убедиться, используем методы теории подобия.

Введем в (7.1) безразмерные переменные посредством замены

$r_{i} = R \xi_{i}, \quad M_{i}=q_{i}\overline{M}=q_{i} \frac{\mathcal{M}}{N}$ (7.10)

а также

$t=P\tau, \quad \mbox{или} \quad t=\frac{\tau}{\overline{\Omega}}$ (7.11)

для скоплений галактик или галактик соответственно. Тогда система (7.1) приобретет вид

$\frac{d^{2}\xi_{i}}{d\tau^{2}} = - \frac{\Pi^{2}}{N} \sum\limits_{j=1, j \ne i}^{N} \frac{q_{i}}{\xi_{ji}^{3}}\xi_{ji}$ (7.12)

где ξ_ji = ξ_j - ξ_i. Число членов в правых частях каждого из уравнений системы (7.12) равно N-1. Поэтому рассматривать подобные по структуре (например, с одинаковой концентрацией к центру сферические скопления), но состоящие из разного числа звезд системы, то правые части уравнений (7.12) приближенно равны параметру Π², умноженному на среднее значение безразмерной величины q_i/ξ_ji², которое лишь в слабой степени зависит от полного числа звезд в скоплении.

Таким образом, ограничиваясь двумя классами звездных систем - квазиcферичеекими невращающимися звездными скоплениями и плоскими вращающимися галактиками - и предполагая их геометрическое подобие, мы можем считать, что независимо от числа звезд в системе безразмерные комплексы Π должны быть одинаковыми для каждого класса систем. По смыслу определения безразмерных переменных (7.10) и (7.11) величины q_i, ξ_i и τ должны быть порядка единицы. Поэтому и безразмерные комплексы Π должны быть порядка единицы. Итак, время пересечения звездой квазисферического скопления по его диаметру равно

$P \approx \frac{R^{3/2}}{(G\mathcal{M})^{1/2}} \approx (G\overline{Mn})^{-1/2}$ (7.13)

Средняя угловая скорость вращения плоской галактики

$\overline{\Omega} \approx \frac{(G\mathcal{M})^{1/2}}{R^{3/2}} \approx (G\overline{M}\frac{\overline{n_{S}}}{R})^{1/2}$ (7.14)

Соотношение типа (7.14) можно несколько обобщить, используя для его определения изменения угловой скорости с увеличением расстояния от центра галактики. Обозначая через M(r) массу галактики, заключенной внутри цилиндра рабиуса r (и с высотой, равной толщине галактики), получим для угловой скорости на этом расстоянии

$\Omega (r) \approx G^{1/2} \left( \frac{M(r)}{r^{3}} \right)^{1/2}$ (7.15)

С другой стороны, соотношение (7.14) можно проверить по статистической связи между угловой скоростью и размером галактик (рис. 25), поскольку, как можно предполагать, дисперсия масс галактик, вероятно, не слишком велика.

Вращение звездных систем (а следовательно, и связанное с ним распределение массы) определяется начальной эволюцией системы и, с точки зрения численного эксперимента, должно задаваться как начальное условие задачи. Естественно, что при этом приходится в основном исходить из наблюдательных данных. Как для нашей Галактики, так и для ряда других спиральных галактик были получены детальные распределения угловых скоростей и масс в плоскости диска. Имеются и статистические данные.

Рис. 25. Зависимость между угловой скоростью вращения галактик и их размером.
Прямая линия соответствует зависимости Ω ∼ R^-3/2

Например, на рис. 26 приведены статистические зависимости между массой галактики $\mathcal{M}$ и ее моментом вращения $\mathfrak{M}$ или кинетической энергией вращения W [1]. Прямая линия соответствует эмпирической формуле

$\mathfrak{M} \sim \mathcal{M} R^{2} \Omega \sim \mathcal{M}^{7/4}$ (7.16)

В работе [2] было найдено, что безразмерный комплекс

$\Pi^{\prime} = W \mathfrak{R}^{2} G^{-2} \mathcal{M}^{-5}$ (7.17)

обладает более слабой зависимостью от геометрии системы и распределения масс внутри системы.

Рис. 26. Зависимость между вращательным моментом $\mathfrak{M}$ и массой $\mathcal{M}$ (слева) и между энергией вращения W и массой $\mathcal{M}$ (справа) для спиральных галактик.

Исследованию вращения звездных систем было посвящен очень много работ, но поскольку уверенных общих соотношений пока нет, в численных экспериментах обычно выбирают простейшие модели, как например, случай твердотельного вращения.

<< § 6.4 Численное моделирование вспышек и коллапса звезд | Оглавление | § 7.2 Время релаксации звездных систем >>

Мнения читателей [4]

Версия для печати

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце