<< 4. Интегрируемость | Оглавление | 4.2. Региональная интегрируемость задачи >>

4.1. Основная теорема о существовании интегралов

Пусть  - непустые области пространства . Рассмотрим задачу Коши с начальными данными из :

где  - функция гладкости . Решение ( ) обозначим .

Теорема 5. Пусть решения системы (47) определены при всех и не выходят из ; существует функция гладкости и постоянная такие, что

где . Тогда существует инвариантная область , в которой существует набор независимых автономных интегралов гладкости .

Суть условия (48) сводится к следующему. Хотя отдельная траектория системы (47) не имеет самопересечений, сколь угодно узкая трубка траекторий самопересекаться может. А это - препятствие к интегрируемости [9]. Условие (48) говорит о том, что по крайней мере в одном направлении трубка движется без возвращений назад и поэтому избегает самопересечений.

Доказательство. Обозначим

Очевидно,  - инвариантная относительно потока системы (47) область, причем  - отображение гладкости области на ;  - отображение гладкости области на , причем (48) справедливо для всех . Запишем групповое свойство отображения :

В частности,

В силу (48) уравнение

имеет относительно единственное решение

при любых . По теореме о неявной функции имеет гладкость . По определению и согласно (50)      , что в сопоставлении с (51) и (52) дает . Подставляя в (50), получим

Итак, при любом фиксированном правая часть (53) не меняется вдоль решений (47). Как уже отмечалось,  - отображение на . Поэтому отображение :

есть интеграл системы (47) гладкости .

Мы построили набор скалярных интегралов - компонент отображения . Осталось доказать, что среди них ровно независимых. Это следует из очевидного свойства функции (54): есть отображение орбит, т. е.

тогда и только тогда, когда существует такое , что .

Теорема доказана.

Всякая орбита по общей теории диффеоморфна точке, окружности или прямой. В силу (52) время однозначно определяется положением, поэтому каждая орбита уравнений (47) в диффеоморфна прямой. Концы ее отделены друг от друга в силу (48).

---

<< 4. Интегрируемость | Оглавление | 4.2. Региональная интегрируемость задачи >>

Публикации с ключевыми словами: Небесная механика - задача n-тел - задача трех тел Публикации со словами: Небесная механика - задача n-тел - задача трех тел

См. также: Саймон Ньюком (1835 -1909) к 175-летию со дня рождения. Наум Ильич Идельсон - 125 лет со дня рождения Методы теории специальных возмущений в небесной механике К 90-летию Александра Александровича Орлова Динамика звездных скоплений Простейшая форма представления градиента гравитационного потенциала небесных тел Эволюция элементов орбит Юпитера и Сатурна на длительных интервалах времени Все публикации на ту же тему >>