Общая теория относительности
12.12.2005 20:11 | "Соросовская Энциклопедия"
1. Немного истории
Общая теория относительности (ОТО) – современная теория тяготения, связывающая его с кривизной четырехмерного пространства-времени.
B своем классическом варианте теория тяготения была создана Исааком Ньютоном еще в XVII веке и до сих пор верно служит человечеству. Она вполне достаточна для многих, если не для большинства задач современной астрономии, астрофизики, космонавтики. Между тем ее принципиальный внутренний недостаток был ясен еще самому Ньютону. Это теория с дальнодействием: в ней гравитационное действие одного тела на другое передается мгновенно, без запаздывания. Ньютоновская гравитация так же соотносится с общей теорией относительности, как закон Кулона с максвелловской электродинамикой. Дж.К. Максвеллу удалось изгнать дальнодействие из электродинамики. В гравитации это сделал Альберт Эйнштейн.
В 1905 году А. Эйнштейн сформулировал специальную теорию относительности, которая завершила в идейном отношении развитие классической электродинамики. В статьях предшественников Эйнштейна Х.А. Лоренца и Ж.А. Пуанкаре содержались многие элементы специальной теории относительности, однако цельная картина физики больших скоростей появилась лишь в работе Эйнштейна.
Создание современной теории тяготения было немыслимо без специальной теории относительности, без глубокого понимания структуры классической электродинамики, без осознания единства пространства-времени. Очень велико для ОТО значение математики. Ее аппарат, тензорный анализ, или абсолютное дифференциальное исчисление, был развит Г. Риччи и Т. Леви-Чивита.
И все же ОТО – это физическая теория, в основе которой лежит ясный физический принцип, твердо установленный экспериментальный факт.
2. Принцип эквивалентности и геометризация тяготения
Г. Галилей установил: все тела движутся в поле тяжести (при отсутствии сопротивления среды) с одинаковым ускорением, траектории всех тел с заданной скоростью искривлены в гравитационном поле одинаково. Благодаря этому в свободно падающем лифте никакой эксперимент не может обнаружить гравитационное поле, иными словами, в свободно движущейся в гравитационном поле системе отсчета в малой области пространства-времени гравитации нет. Последнее утверждение – это одна из формулировок принципа эквивалентности.
Данное свойство поля тяготения отнюдь не тривиально. В случае электромагнитного поля ситуация совершенно иная. Существуют, например, незаряженные нейтральные тела, которые электромагнитного поля вообще не чувствуют. Так вот, гравитационно-нейтральных тел нет, не существует ни линеек, ни часов, которые не чувствовали бы гравитационного поля. Любой эталон прямой, например луч света, не обладает в поле тяготения свойствами прямой линии. Нет объектов, которые в этом поле можно было бы отождествить с прямыми, как в евклидовой геометрии. Поэтому геометрию нашего пространства естественно считать неевклидовой.
Некоторое представление о свойствах такого пространства можно получить на простейшем примере сферы, поверхности обычного глобуса. Рассмотрим на ней сферический треугольник, фигуру, ограниченную дугами большого круга. (Дуга большого круга, соединяющая две точки на сфере, – это кратчайшее расстояние между ними; она представляет собой естественный аналог прямой на плоскости.) Выберем в качестве этих дуг участки меридианов, отличающихся на 90° по долготе, и экватора (рис. 1). Сумма углов этого сферического треугольника не равна π – сумме углов треугольника на плоскости:
| α+β+γ =1,5π. | (1) |
Превышение суммы углов данного треугольника над π может быть выражено через его площадь S и радиус сферы R:
| α+β+γ-π =S/R 2. | (2) |
Это соотношение справедливо для любого сферического треугольника. Обычный случай треугольника на плоскости также вытекает из этого равенства: плоскость можно рассматривать как сферу с R→∞. Если переписать формулу (2) иначе:
| K=1/R 2=[α+β+γ-π]/S, | (3) |
то видно, что радиус сферы можно определить, оставаясь на ней, не обращаясь к трехмерному пространству, в которое она погружена. Для этого достаточно измерить площадь сферического треугольника и сумму его углов. Иными словами, R или K являются внутренней характеристикой сферы. Величину K принято называть гауссовой кривизной, она естественным образом обобщается на произвольную гладкую поверхность:
| K(x)=limS→∞[α+β+γ-π]/S. | (4) |
Здесь углы и площадь относятся к малому треугольнику на поверхности, ограниченному линиями кратчайших расстояний на ней, а кривизна, вообще говоря, меняется от точки к точке, то есть является величиной локальной. В общем случае, так же как и для сферы, параметр K служит внутренней характеристикой поверхности, не зависящей от ее погружения в трехмерное пространство. Гауссова кривизна не меняется при изгибании поверхности без ее разрыва и растяжения. Так, например, конус или цилиндр можно разогнуть в плоскость, и поэтому для них, так же как для плоскости, K=0.
Если взять на полюсе (рис. 1) вектор, направленный вдоль одного из меридианов, перенести его вдоль этого меридиана, не меняя угла между ними (в данном случае нулевого), на экватор, далее, перенести его вдоль экватора, снова не меняя угла между ними (на сей раз π/2), на второй меридиан, наконец таким же образом вернуться вдоль второго меридиана на полюс, то в отличие от такого же переноса по замкнутому контуру на плоскости вектор окажется повернутым относительно своего исходного направления на π/2 или на
| α+β+γ-π =KS. | (5) |
Этот результат – поворот вектора при его переносе вдоль замкнутого контура на угол, пропорциональный охваченной площади, – естественным образом обобщается не только на произвольную двумерную поверхность, но и на многомерные неевклидовы пространства. Однако в общем случае n-мерного пространства кривизна не сводится к одной скалярной величине K(x) . Это более сложный геометрический объект, имеющий n2(n2-1)/12 компонент. Его называют тензором кривизны или тензором Римана, а сами эти пространства – римановыми. В четырехмерном римановом пространстве-времени общей теории относительности тензор кривизны имеет 20 компонент.
3. Классические опыты по проверке ОТО
В начале предыдущего раздела уже отмечалось, что гравитационное поле влияет на движение не только массивных тел, но и света. В частности, фотон, распространяясь в поле Земли вверх, совершает работу против силы тяжести и поэтому теряет энергию (см., однако, работу [6]). Как известно, энергия фотона пропорциональна его частоте, которая тоже падает. Этот эффект – красное смещение – был предсказан Эйнштейном еще в 1907 году. Нетрудно оценить его величину. Работа против силы тяжести, очевидно, пропорциональна gh, где g – ускорение свободного падения, а h – высота подъема. Произведение gh имеет размерность квадрата скорости. Поэтому результат для относительного смещения частоты из соображений размерности таков:
| δω/ω=gh/c2, | (6) |
где c – скорость света. При g ≈10 м/с2, h≈10 м относительное смещение ничтожно мало: ~10-15. Неудивительно, что экспериментально красное смещение удалось наблюдать лишь спустя полвека, с появлением техники, использующей эффект Мëссбауэра.
Еще один эффект, предсказанный Эйнштейном на заре ОТО, – отклонение луча света в поле Солнца. Его величина оценивается следующим образом. Если характерное, прицельное расстояние луча от Солнца равно ρ, то радиальное ускорение составляет GM/ρ2, где G – ньютоновская гравитационная постоянная, а M – масса Солнца. За характерное время пролета ρ/c радиальная компонента скорости фотона изменится на GM/(ρc) и соответственно угол отклонения составит
| rg =2GM/c2. | (7) |
Наивное использование полуклассических соображений действительно приводит к ответу
| θ=2rg /ρ. | (8) |
Гравитационный радиус Солнца rg ≈3 км, а прицельный параметр естественно сделать как можно ближе к обычному радиусу Солнца, который составляет 7·108 м. Таким образом, для луча света, проходящего вблизи поверхности Солнца, угол отклонения составляет 1″,75. Измерения, проведенные группой А.С. Эддингтона во время солнечного затмения 1919 года, подтвердили последнее предсказание.
К числу классических тестов ОТО относится также вращение перигелия орбиты Меркурия. Замкнутые эллиптические орбиты – это специфика нерелятивистского движения в притягивающем потенциале 1/r. Неудивительно, что в ОТО орбиты планет незамкнуты. Малый эффект такого рода удобно описывать как вращение перигелия эллиптической орбиты. Задолго до появления ОТО астрономы знали, что перигелий орбиты Меркурия поворачивается за столетие примерно на 6000″. Поворот этот в основном объяснялся гравитационными возмущениями движения Меркурия со стороны других планет Солнечной системы. Оставался, однако, неустранимый остаток – около 40″, в столетие. В 1915 году Эйнштейн объяснил это расхождение в рамках ОТО.
Из простых соображений размерности можно ожидать, что поворот перигелия за один оборот составляет
| δ=3π rg /R . | (9) |
При радиусе орбиты Меркурия R≈0,6·1010 м это дает 43″ в столетие, снимая таким образом существовавшее расхождение. Меркурий – это планета, ближайшая к Солнцу, планета с наименьшим радиусом орбиты R, поэтому вращение перигелия орбиты у нее максимально.
4. Черные дыры
Роль ОТО отнюдь не сводится к исследованию малых поправок к обычной ньютоновской гравитации. Существуют объекты, называемые черными дырами, в которых эффекты ОТО играют ключевую роль. Это компактные звезды.
Еще в XVIII веке Дж. Митчел и П.С. Лаплас независимо заметили, что могут существовать звезды, обладающие необычным свойством: свет не может покинуть их поверхность. Рассуждение выглядело примерно так. Тело, обладающее радиальной скоростью V , может покинуть поверхность звезды радиуса R и массы M при условии, что кинетическая энергия этого тела mV 2/2 превышает энергию притяжения GMm/R, то есть при V 2>2GM/R. Применение последнего неравенства к свету (что совершенно необоснованно) приводит к выводу: если радиус звезды массы M меньше чем rg,
Черная дыра – вполне естественное название для такого объекта. Свойства его весьма необычны. Черная дыра возникает, когда звезда сжимается настолько сильно, что усиливающееся гравитационное поле не выпускает во внешнее пространство ничего, даже свет. Поэтому из черной дыры не выходит никакая информация.
При падении пробного тела на черную дыру по часам бесконечно удаленного наблюдателя оно будет достигать гравитационного радиуса бесконечно долго. Однако по часам, установленным на самом пробном теле, время этого путешествия вполне конечно.
Многочисленные результаты астрономических наблюдений дают серьезные основания полагать, что черные дыры – это не просто игра ума физиков-теоретиков, а реальные объекты, существующие, по крайней мере, в ядрах галактик. Подробнее о проблемах, связанных с черными дырами, можно узнать из статей А.М. Черепащука "Черные дыры в двойных звездных системах" и Д.А. Киржница "Горячие черные дыры" в этом томе.
5. Пульсар PSR 1913+16 и гравитационные волны
Нобелевская премия по физике за 1993 год была присуждена Р.А. Халсу и Дж.Г. Тейлору за исследование пульсара PSR 1913+16 (PSR означает пульсар, а цифры относятся к координатам на небесной сфере: прямое восхождение 19h13m, склонение 16°). Исследование свойств излучения этого пульсара показало, что он является компонентой двойной звезды, иными словами, у него есть компаньон и обе звезды вращаются вокруг общего центра масс. Расстояние между пульсаром и его компаньоном составляет всего 1,8·109 м. Если бы невидимый компаньон был обычной звездой с характерным радиусом ~109 м, то наблюдались бы, очевидно, затмения пульсара. Однако ничего подобного не происходит. Подробный анализ наблюдений показал, что невидимая компонента – это не что иное, как нейтронная звезда. Иными словами, система PSR 1913+16 состоит из двух нейтронных звезд, одна из которых имеет сильное ( ~1012 Гс) магнитное поле, то есть является пульсаром.
Существование нейтронных звезд было предсказано теоретически еще в 30-е годы. Они образуются в результате бурного гравитационного сжатия массивных звезд, сопровождающегося взрывом сверхновых. После взрыва давление в оставшемся ядре массивной звезды продолжает нарастать, электроны с протонами сливаются (с испусканием нейтрино) в нейтроны. Образуется очень плотная звезда с массой, несколько большей массы Солнца, но очень малого размера, порядка 10-15 километров, не превышающего размер астероида. Наблюдение нейтронных звезд уже само по себе является выдающимся открытием. Кроме того, тщательное исследование движения двойной звезды PSR 1913+16 дало новое подтверждение предсказания ОТО, касающегося незамкнутости эллиптических орбит. Поскольку гравитационные поля в данной системе очень велики, периастр орбиты вращается несравненно быстрее, чем перигелий орбиты Меркурия, он поворачивается на 4°,2 в год. Изучение этого и других эффектов позволило также определить с высокой точностью массу пульсара и нейтронной звезды. Они равны соответственно 1,442 и 1,386Mʘ.
В 1918 году Эйнштейн предсказал на основе ОТО существование гравитационного излучения. Хорошо известно, что электрически заряженные частицы, будучи ускоренными, излучают электромагнитные волны. Аналогично, массивные тела, двигаясь с ускорением, излучают гравитационные волны – рябь геометрии пространства, распространяющуюся тоже со скоростью света. Аналогия эта неполна (впрочем, как практически и всякая иная). Одно из отличий между электромагнитными и гравитационными волнами, имеющее довольно существенный характер, состоит в следующем. В отличие от случая электромагнитного поля плотность энергии гравитационного поля, гравитационной волны локальна: в данной точке ее всегда можно обратить в нуль выбором соответствующей системы координат. Лет 60-70 назад это обстоятельство рассматривалось как серьезная трудность теории. Затем, однако, смысл его был прояснен и проблема снята. В последние годы вновь появились утверждения о том, что возможность обращения в нуль локальной плотности энергии гравитационного поля является коренным, принципиальным дефектом ОТО.
На самом же деле ничего страшного в этом нет. Данный вывод является прямым следствием принципа эквивалентнос