<< Оглавление |
Введение
Изучение эволюции планетных систем, и прежде всего Солнечной, представляет собой одну из фундаментальных задач небесной механики.
Вплоть до середины XX века исследование задачи об эволюции планетных систем, и прежде всего Солнечной, проводилось аналитическими методами, которые показали устойчивость планетных систем типа Солнечной при и высокую вероятность устойчивости при . Времена порядка не рассматривались.
С семидесятых годов на помощь аналитике приходят численные методы. Шаг интегрирования пропорционален наименьшему из периодов обращения принятых во внимание планет. Поэтому на временах порядка возраста Солнечной системы (лет) исследована только система планет-гигантов и Плутона, оказывающаяся достаточно устойчивой. Что касается всей системы от Меркурия до Плутона, то её рассмотрение требует на два порядка больше машинного времени. Поэтому результаты получены лишь для лет и показали большую изменчивость орбит внутренних планет по сравнению с внешними.
В восьмидесятые годы прошлого века работами Ж.Ласкара открывается новый период применения аналитических методов в задаче об эволюции Солнечной системы. Именно Ласкар приводит уравнения движения к виду, не содержащему быстрых углов. Гамильтониан в новых переменных найден аналитически. Поскольку шаг здесь может быть выбран порядка 250 лет, удалось продлить интервал интегрирования до десятков миллиардов лет. Подтверждена устойчивость орбит планет-гигантов. Но планеты земной группы оказываются на границе устойчивости, а устойчивость орбиты Меркурия и вовсе под вопросом [5].
Результаты, полученные Ласкаром, требуют проверки и уточнения. Поэтому задача об эволюции орбит планет решается в настоящее время с использованием других аналитических и численных методов.
В настоящей работе была поставлена задача: выполнить численное интегрирование системы в средних элементах и исследовать свойства получаемого решения. Для интегрирования системы использовался метод Рунге-Кутты 9-го и 11-го порядков. Для него (на основе подпрограммы-интегратора, разработанной В.М.љДаниловым) была написана программа, вычисляющая значения средних элементов с заданным шагом интегрирования. Проведено исследование самого интегратора: выбран наилучший шаг интегрирования и оценена его точность. Исследованы эволюции орбит Юпитера и Сатурна на длительных интервалах времени (порядка возраста Солнечной системы).
Устойчивость в небесной механике
Вопросы, касающиеся устойчивости планетных систем, и прежде всего Солнечной, являются наиболее важными в небесной механике. До открытия закона всемирного тяготения вопрос об устойчивости системы Мира решался a priori. Сначала делалось предположение о фундаментальном свойстве Мира устойчивость, хаотичность и т.п. затем создавались системы. По своей сути они были кинематическими.
Ньютон первым построил динамическую модель Солнечной системы и сразу же столкнулся с вопросом о ее устойчивости. Он вышел из этого затруднения с помощью Великого Часовщика, который время от времени должен возвращать планеты на их орбиты.
В дальнейшем понятие устойчивости развивалось параллельно с исследованиями движения планет. Лагранж считал движение устойчивым, если оно происходит в замкнутой области пространства. Согласно теореме Лапласа-Лагранжа (1773, 1776 гг.) об отсутствии вековых возмущений больших полуосей планетных орбит, их изменение с точностью до величин первого порядка малости относительно возмущающих масс можно представить в виде суммы тригонометрических слагаемых. На основе этой теоремы в 1773 г. Лаплас сформулировал теорему об устойчивости Солнечной системы: если движение планет происходит в одном направлении, их массы одного порядка, эксцентриситеты и наклоны малы, а большие полуоси испытывают лишь небольшие колебания относительно среднего положения, то эксцентриситеты и наклоны орбит будут оставаться малыми на рассматриваемом интервале. Вывод обнадеживающий. Однако, в настоящее время эта теорема имеет только исторический интерес. Она не применима на интервалах времени, сравнимых с возрастом Солнечной системы, поскольку учитывает возмущения только первого порядка. Кроме того, массы тел Солнечной системы различаются существенно.
Наиболее удачное понятие устойчивости сформулировал в конце XIX века русский математик А.М.Ляпунов. Исследуемое движение считается устойчивым, если все возможные движения, мало отличающиеся от него в начальный момент, в последующем будут мало отклоняться от него на всем интересующем интервале времени. Если же найдется хотя бы одно (!) движение, в начальный момент мало отличающееся от исследуемого, которое постепенно, пусть и через большой промежуток времени, заметно отклонится от него, то исследуемое движение неустойчиво. Это определение считается основным по сей день. Для анализа скорости разбегания соседних траекторий применяют специальную характеристику, называемую временем Ляпунова. Она определяет промежуток времени, в течение которого расстояние между соседними траекториями увеличивается в e раз.
Кроме того, говоря об устойчивости Солнечной системы, как правило, имеют в виду устойчивость движения больших планет на бесконечном или очень большом, сравнимом с ее возрастом, интервале времени. В этом случае крайними проявлениями неустойчивости являются уход из Солнечной системы, падение на Солнце или столкновение с другой планетой. Такое событие способно существенно изменить структуру и динамику Солнечной системы [1].
Исследование динамики Солнечной системы
Вплоть до середины XX века исследование задачи об эволюции планетных систем, и прежде всего Солнечной, проводилось аналитическими методами, которые показали устойчивость планетных систем типа Солнечной при и высокую вероятность устойчивости при . Времена порядка не рассматривались.
С семидесятых годов на помощь аналитике приходят численные методы. Шаг интегрирования пропорционален наименьшему из периодов обращения принятых во внимание планет. Поэтому на временах порядка возраста Солнечной системы (лет) исследована только система планет-гигантов и Плутона, оказывающаяся достаточно устойчивой. Что касается всей системы от Меркурия до Плутона, то её рассмотрение требует на два порядка больше машинного времени. Поэтому результаты получены лишь для лет и показали большую изменчивость орбит внутренних планет по сравнению с внешними.
Таким образом, численные методы решили вопрос об устойчивости движения планет-гигантов на космогонических временах. Но вопрос об эволюции орбит земной группы и произвольных планетных систем остался открытым.
В шестидесятые годы ХХ века аналитическая небесная механика получила новые мощные средства: КАМ-теорию и метод преобразований Хори-Депри. КАМ-теория в приложении к Солнечной системе дает следующую теорему: если массы планет достаточно малы, эксцентриситеты и наклоны орбит малы, то для большинства начальных условий (исключая резонансные и близкие к ним) движение будет условно-периодическим, эксцентриситеты и наклоны будут оставаться малыми, а большие полуоси будут вечно колебаться вблизи своих первоначальных значений, то есть Солнечная система будет устойчивой по Ляпунову на бесконечном интервале времени.
Результат замечательный! Однако, с очень существенной оговоркой: при условии отсутствия резонансов. К сожалению, в реальной Солнечной системе резонансы играют очень важную роль. Поэтому, выводы КАМ-теории не могут быть применены к Солнечной системе в целом на всем интервале ее существования.
В восьмидесятые годы прошлого века работами Ж.Ласкара открывается новый период применения аналитических методов в задаче об эволюции Солнечной системы. Именно Ласкар приводит уравнения движения к виду, не содержащему быстрых углов. Гамильтониан в новых переменных найден аналитически. Численное интегрирование системы в осреднённых элементах проведено с использованием метода Адамса 12-го порядка. Поскольку шаг здесь может быть выбран порядка 250 лет, удалось продлить интервал интегрирования до десятков миллиардов лет. Подтверждена устойчивость орбит планет-гигантов. Но планеты земной группы оказываются на границе устойчивости, а устойчивость орбиты Меркурия и вовсе под вопросом [5].
Двухпланетная задача
Результаты, полученные Ласкаром, требуют проверки и уточнения. Кроме того, в 1999 г. была открыта первая внесолнечная планетная система, и в связи с этим, хотелось бы построить аппарат, с помощью которого можно было бы исследовать поведение произвольных планетных систем. Поэтому задача об эволюции орбит планет решается в настоящее время с использованием аналитических и численных методов отличных от тех, которыми пользовался Ласкар. В рамках этой задачи было сделано следующее:
- В отличие от Ласкара, использовалась система координат Якоби, которая является наиболее подходящей, т.к. позволяет записать единый гамильтониан для всей системы.
- Получено разложение в ряд Пуассона по всем элементам.
- Для двупланетной задачи Солнце - Юпитер - Сатурн найдены соответствующие коэффициенты разложения [6]. Осреднённый гамильтониан получен с точностью до .
- Построены разложения для осреднённого гамильтониана, производящей функции преобразования Ли, уравнений замены переменных и правых частей осреднённых уравнений движения с точностью до второй степени малого параметра.
В настоящей работе была поставлена задача: выполнить численное интегрирование системы в средних элементах и исследовать свойства получаемого решения.
Интегрирование осреднённых уравнений движения
Для интегрирования системы использовался метод Рунге-Кутты 9-го и 11-го порядков [3]. Для него (на основе подпрограммы-интегратора, разработанной В.М.љДаниловым) была написана программа, вычисляющая значения средних элементов с заданным шагом интегрирования. В качестве исходных данных в этой программе используются значения элементов орбит Юпитера и Сатурна в системе координат Якоби. Затем считываются ряды для функций замены переменных, и таким образом осуществляется переход от оскулирующих элементов к средним. Только после этого происходит вычисление значений орбитальных элементов обеих планет для соответствующих моментов времени. Таким образом, в результате работы программы, мы получаем значения орбитальных элементов Юпитера и Сатурна на необходимый момент времени.
Так как при интегрировании большие полуоси планет остаются фиксированными, то изменяются только эксцентриситеты, наклоны и соответствующие долготы. Рассмотрим эволюцию этих элементов.
На рис. 1 показана зависимость эксцентриситетов обеих планет от времени на интервале в 500 тыс. лет.
Рис. 1
По оси абсцисс отложены значения эксцентриситетов, по оси ординат время в годах. Сплошная линия на графике соответствует Юпитеру, пунктирная - Сатурну. Хорошо видно, что амплитуды колебаний на протяжении всего интервала интегрирования остаются постоянными. Максимальное значение эксцентриситета Юпитера не превосходит 0,051, а минимальное не опускается ниже 0,019. Подобным же образом ведёт себя и Сатурн, для него верхний предел составил 0,77, нижний - 0,021. Кроме того, как и ожидалось, колебания значений эксцентриситетов Юпитера и Сатурна происходит в противофазе.
На рис. 2 показана зависимость наклонов Юпитера и Сатурна от времени. Общий временной интервал составляет также 500 тыс. лет. Здесь по оси абсцисс отложены значения наклонов (в градусах), по оси ординат время в годах. Как и на предыдущем графике, сплошная линия соответствует Юпитеру, пунктирная - Сатурну. Как и в случае с эксцентриситетами, колебания наклонов Юпитера и Сатурна происходит в противофазе, и амплитуды этих колебаний остаются постоянными. Диапазон изменения наклона составил: для Юпитера - 1.3-2.0o, для Сатурна - 0.73-2.5o.
Рис. 2
Необходимо заметить, что хотя на графиках приведены значения эксцентриситетов и наклонов Юпитера и Сатурна на временном отрезке 500 тыс. лет, на общем интервале интегрирования (10 млрд. лет) эти орбитальные элементы не меняют своего поведения.
Долготы перицентров орбит изменяются вековым образом. Характер эволюции долгот восходящих узлов зависит от используемой основной плоскости и порядка метода Хори-Депри. В первом приближении на плоскости эклиптики узлы Юпитера и Сатурна либрируют с амплитудами 13o и 33o соответственно (рис. 3), на плоскости Лапласа - отстоят на 180o друг от друга. Во втором приближении характер эволюции узлов на плоскости эклиптики меняется на вековой.
Рис. 3
Кроме значений элементов орбит Юпитера и Сатурна для обеих планет были получены значения показателей Ляпунова и оценено время Ляпунова [2]. Показатели Ляпунова играют важную роль в теории гамильтоновых динамических систем. Они дают вычислимую количественную меру степени стохастичности: среднюю скорость экспоненциальной расходимости близких траекторий. Для Юпитера время Ляпунова составило 14 млн. лет, для Сатурна 10 млн. лет.
В качестве критериев точности интегрирования выступают: интеграл энергии и интеграл площадей. При использовании интегратора 11-го порядка колебания относительной ошибки энергии происходят около одного и того же среднего значения с постоянной амплитудой. Что же касается 9-го порядка, то здесь наблюдается заметное увеличение (по модулю) подобного среднего значения (рис. 4, рис. 5). Подобное поведение наблюдается и при рассмотрении интеграла площадей.
Рис. 4
Рис. 5
Относительно свойств самого интегратора необходимо отметить следующее. Максимальный шаг интегрирования составляет 10 тыс. лет, именно такое значение временного шага является оптимальным, и оно использовалось в настоящей работе. Естественно, уменьшение шага должно давать лучший результат, но это приведёт не только к неизбежному увеличению общего времени интегрирования, но и к накоплению ошибки округления.
Выводы относительно наилучшего порядка интегратора также очевидны. Использование интеграторов более высоких порядков позволяет повысить точность интегрирования, но неизбежно влечёт за собой увеличение общего времени вычислений.
Максимальный интервал, на котором проводилось исследование, составил 10 млрд. лет (при работе на Pentium IV 2,4 Ггц для выполнения одного шага требуется 4 с машинного времени при использовании 9-го порядка и 12 с при использовании 11-го порядка).
Заключение
Таким образом, в данной работе было проведено исследование двухпланетной задачи на примере системы Солнце - Юпитер - Сатурн. Для этого была написана программа, позволяющая интегрировать систему уравнений в средних элементах. Получены значения орбитальных элементов Юпитера и Сатурна на интервале 10 млрд. лет. Получены оценки времени Ляпунова для Юпитера (14 млн. лет) и Сатурна (10 млн. лет). А также проведено исследование самого интегратора: выбран наилучший шаг интегрирования и оценена его точность. В качестве исходных данных взяты правые части осредненных уравнений движения и уравнения замены переменных, полученные в результате выполнения первого приближения метода Хори-Депри [4].
О поведении исследуемой системы можно сказать следующее: в системе Солнцељ- Юпитер - Сатурн сохраняется условно-периодическое движение на космогонических интервалах времени, но с малым временем Ляпунова.
Список литературы
[1] Кузнецов Э.Д. Структура, динамика и устойчивость Солнечной системы. http://virlib.eunnet.net/win/metod_materials/wm3/dynamics.htm
[2] Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. 528 с.
[3] Мур Р., Дракос Н. (Moore R., Drakos N.) Методы Рунге-Кутты. http://www.dvo.ru/studio
[4] Холшевников К.В. Асимптотические методы небесной механики. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та., 1985. 208 с.
[5] Холшевников К.В., Греб А.В., Кузнецов Э.Д. Разложение гамильтониана в ряд Пуассона по всем элементам (теория) // Астрон. вестн., 2001. Т. 35, No 3. С. 267--272.
[6] Холшевников К.В., Греб А.В., Кузнецов Э.Д. Разложение гамильтониана двупланетной задачи в ряд Пуассона по всем элементам: оценка и прямое вычисление коэффициентов // Астрон. вестн., 2002. Т. 36, No 1. С. 75--87.
<< Оглавление | В начало страницы |
|
Публикации с ключевыми словами:
Небесная механика - планетная система
Публикации со словами: Небесная механика - планетная система | |
См. также:
Все публикации на ту же тему >> | |
