
A.6 Сферические функции
Гравитационный потенциал во всех точках, находящихся на
поверхности и вне Земли, удовлетворяет уравнению Лапласа:













![$\displaystyle (1-\mu^2)\frac{d^2P}{d\mu^2} -2\mu\frac{dP}{d\mu} +\left[l(l+1) -
\frac{m^2}{1-\mu^2}\right]P=0.
$](https://images.astronet.ru/pubd/2003/06/11/0001190894/tex/formula1058.gif)
При получается уравнение Лежандра. В функциях
верхний индекс 0 обычно опускают.
Определим сферические функции как





Полиномы Лежандра представляют собой решения уравнения Лапласа,
обладающие осевой симметрией. Очевидно, если , то сферические
функции
не зависят от долготы, и
называются зональными. Потенциал, разлагающийся только по
зональным функциям, можно записать в виде ряда по степеням
расстояния
от начала координат, коэффициентами которого
являются полиномы Лежандра. Они зависят только от полярного
расстояния
.
Присоединенные функции Лежандра являются ортогональными функциями, т.е.

Каждая дважды дифференцируемая действительная функция
, такая что
и определенная при
и
на поверхности сферы, может быть
разложена в сходящийся ряд
![]() |
![]() |
|
![]() |
Коэффициенты разложения находятся следующим образом:
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
где

<< A.5 Криволинейные координаты | Оглавление | B. Основные термины >>
Публикации с ключевыми словами:
астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
Публикации со словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени | |
См. также:
Все публикации на ту же тему >> |