Топология и метрика пар кеплеровских орбит

---

<< 1. Введение | Оглавление | 3. Топология пар орбит >>

2. Евклидово расстояние между двумя кеплеровскими орбитами

Обозначим через кеплеровский эллипс, рассматриваемый как множество точек в . Пусть  - евклидово расстояние между двумя орбитами, т.е. наименьшее значение расстояния между парами точек, лежащих на соответствующих эллипсах. С XIX столетия опубликованы сотни работ, посвященных определению различными приближенными способами. Альтернативный подход состоит в сведении задачи к решению уравнения

где  - угловая переменная, определяющая положение на эллипсе;  - периодическое отображение из в . Все предложенные до сих пор функции были далеки от оптимальных.

Мы построили алгоритм наименьшей сложности для определения . Именно, построили играющий роль тригонометрический многочлен восьмой степени от эксцентрической аномалии . В общем случае тригонометрического многочлена меньшей степени не существует. В вырожденных случаях мы построили тригонометрические многочлены меньшей степени, а в случае двойного и тройного вырождения получили явное решение для . Подробное решение задачи (с пропуском одного из вырожденных случаев) содержится в [1]. Здесь мы приведем основные результаты.

Пусть  - кеплеровские элементы ; . Описывающие величины помечаются штрихом. Вектор положения на выразим через эксцентрическую аномалию

Здесь ; компоненты ортогональных единичных векторов и нужного в дальнейшем вектора площадей даются формулами

Здесь . Векторы , , существуют всегда, хотя не единственны при .

Для приведенного к безразмерному виду квадрата функции расстояния легко вывести представление

Здесь

 - скалярные произведения соответствующих векторов; для симметрии мы положили

Функция (2) является тригонометрическим многочленом двух переменных и принимает наименьшее на двумерном торе значение в одной из критических точек, удовлетворяющих уравнениям

В развернутом виде

Функции

не зависят от , постоянна.

Используя алгебраическую технику базисов Гребнера [3], можно исключить из уравнений (3) переменную . В результате получаем тригонометрический многочлен восьмой степени

решаюший задачу определения величины .

Соотношение необходимо и достаточно для совместности системы (3). В невырожденном случае не существует многочлена меньшей степени, обладающего этим свойством.

Доказательство см в [1].

Опишем алгоритм определения . На первом шаге решается уравнение , т.е. находятся все его вещественные корни на окружности . На втором шаге ищутся соответствующие значения по формуле

где , равно плюс или минус единице. Нужный знак определяется вторым уравнением системы (3).

На третьем шаге сравнивается конечное множество значений и выбирается наименьшее . В результате

Рассмотрим вырожденные случаи, когда критические точки отвечают вещественным корням тригонометрического уравнения меньшей степени. Интуиция подсказывает, что простейшие вырождения связаны с двумя различными случаями: обращением в нуль взаимного наклона и хотя бы одного из эксцентриситетов. Как часто бывает, интуиция оправдывается лишь частично. Компланарность, в отличие от кругового случая, не ведет к вырождению.

1. Пусть орбита  - круговая. Более того, допустимо считать , не пренебрегая первой степенью эксцентриситета. Полагая и используя процедуру факторизации, представим в форме

Второй множитель - тригономерический многочлен шестой степени. Первый может обратиться в нуль в вещественной области только в случае . Тогда и в критических точках, в силу первого из уравнений (3). Но если , то, очевидно, и . Итак, в случае можно заменить на тригонометрический многочлен шестой степени.

2. Если исчезают оба эксцентриситета , то и

Таким образом, в круговом случае можно заменить на тригонометрический многочлен второй степени

Более того, содержит только вторые гармоники

где

Корни находятся элементарно:

3. Если в компланарном случае орбита  - круговая, то

И в этом случае решение элементарно. Два корня второй кратности лежат на линии апсид

При \alpha e$ -> других вещественных корней нет. В противном случае есть еще два:

4. Наконец, обращение в нуль обоих эксцентриситетов и взаимного наклона влечет максимально вырожденный случай

Для каждого существует ровно две точки такие, что отвечает критической точке . В самом деле, становится тригонометрическим полиномом точно первой степени относительно . Иными словами, двумерный тор редуцируется к окружности. Функция одной переменной имеет ровно один максимум и один минимум. Соответствующие значения равны и .

---

<< 1. Введение | Оглавление | 3. Топология пар орбит >>

Публикации с ключевыми словами: Небесная механика - кеплеровы орбиты Публикации со словами: Небесная механика - кеплеровы орбиты
См. также: Саймон Ньюком (1835 -1909) к 175-летию со дня рождения. Наум Ильич Идельсон - 125 лет со дня рождения Методы теории специальных возмущений в небесной механике Задача N тел и проблема интегрируемости К 90-летию Александра Александровича Орлова Динамика звездных скоплений Простейшая форма представления градиента гравитационного потенциала небесных тел Все публикации на ту же тему >>