Механика твердого тела. Лекции.
В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)Издательство Физического факультета МГУ, 1997 г. Содержание
Необходимость введения тензорных величин связана с различного рода анизотропией свойств физических макроскопических объектов. Тензор связывает две векторные величины, которые пропорциональны друг другу по модулю, но в силу анизотропии свойств объекта не совпадают друг с другом по направлению. В случае L и решающую роль играет "анизотропия" формы тела (отсутствие определенной симметрии относительно осей xyz). В других случаях это может быть анизотропия, например, электрических или магнитных свойств вещества. Так, векторы поляризации вещества Р и напряженности электрического поля Е связаны тензором поляризуемости : - электрическая постоянная). Это означает, что в силу анизотропии электрических свойств вещество поляризуется "не по полю", то есть "не по полю" смещаются положительные и отрицательные заряды в молекулах вещества. Примерами других, в общем случае тензорных величин являются диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость вещества. Важную роль в механике играют тензоры деформаций и напряжений. С этими и другими тензорными величинами вы познакомитесь при изучении соответствующих разделов курса общей физики.
Замечание. Если и L в выражении (2.3) проектировать на оси лабораторной системы XYZ, то компоненты тензора оказались бы зависящими от времени. Такой подход в принципе возможен; он, в частности, используется в Берклеевском курсе физики [Ч. Киттель и др., 1983].
Главные оси инерции.
Возникает вопрос: возможен ли для произвольного твердого тела случай, когда векторы L и совпадают? Оказывается, что для всякого тела и любой точки О имеются по крайней мере три взаимно перпендикулярных направления (или, другими словами, три взаимно перпендикулярных оси вращения), для которых направления L и совпадают. Такие оси называются главными осями инерции тела.
Если оси Ox, Oy и Oz совместить с главными осями инерции тела, то матрица будет иметь диагональный вид:
(2.15) |
Величины в этом случае называются главными моментами инерции тела. При этом
(2.16) |
то есть, действительно, если вектор направлен вдоль одной из главных осей инерции тела, то вектор L будет направлен точно так же (рис. 2.6).
Рис. 2.6. |
Расположение главных осей инерции в теле и значения соответствующих главных моментов инерции зависят от выбора точки О. Если О совпадает с центром масс, то главные оси называются главными центральными осями тела. Если главные оси инерции тела известны, то значения главных моментов инерции вычисляются из геометрии масс. Например:
(2.17) |
Здесь - расстояние элементарной массы от главной оси Ox.
Как же определить главные оси инерции для выбранной точки О твердого тела? Если оси Ox, Oy и Oz проведены в теле произвольно, то в общем случае они не совпадают с главными осями инерции. Такого совпадения можно добиться путем некоторого поворота исходной системы координат относительно твердого тела. В новых координатах матрица становится диагональной.
Во многих случаях главные оси инерции удается легко определить из соображений симметрии. На рис. 2.7-2.10 изображены главные оси инерции для различных точек тел, обладающих определенной симметрией: цилиндра (рис. 2.7), прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.8), куба (рис. 2.9) и шара (рис. 2.10). Легко сообразить, что во всех этих случаях Например, в случае прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.8) так как для всякой массы с данными значениями найдется симметрично расположенная масса с теми же значениями и , но с противоположным значением
Рис. 2.7. | Рис. 2.8. |
Рис. 2.9. | Рис. 2.10. |
В заключение этого раздела рассмотрим пример нахождения главных осей инерции для плоской прямоугольной пластинки со сторонами и масса которой (рис. 2.11).
Рис. 2.11. |
Ясно, что одна из главных осей инерции для точки О (ось Oz) перпендикулярна плоскости пластинки; на рис. 2.11 она не показана. Оси Ox и Oy, направленные вдоль сторон пластинки, не являются главными. Действительно, в этом случае
(2.18) |
(2.19) |
(2.20) |
Допустим, что оси Ox' и Oy', повернутые на угол относительно осей Ox и Oy - главные оси инерции для точки О. Соответствующее преобразование координат имеет вид:
Тогда будем иметь
(2.23) |
Здесь учтено, что для главных осей Ox' и Oy'
Аналогично
(2.24) |
(2.25) |
Подставляя в (2.23 - 2.25) значения и из (2.18 - 2.20), получим систему трех уравнений для нахождения и :
Из этой системы, в частности, легко получить, что
(2.29) |
Для сравнения: если - угол между осью Oy и диагональю прямоугольной пластинки, то
(2.30) |
то есть Это означает, что главная ось инерции Oy' не проходит через центр пластинки. И только в случае квадрата, когда главная ось инерции Oy' будет направлена по диагонали квадрата. Этот пример наглядно показывает, что если главные оси инерции - нецентральные, то ни одна из них в принципе может и не проходить через центр масс тела.
Публикации с ключевыми словами:
механика - твердое тело - углы Эйлера
Публикации со словами: механика - твердое тело - углы Эйлера | |
См. также:
|