Астронет > Механика твердого тела. Лекции.

по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод по каталогу

Механика твердого тела. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 1997 г. Содержание

Пример 2. При килевой качке корабля (с носа на корму и обратно) ротор быстроходной турбины участвует в двух движениях: во вращении вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$ и в повороте вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной валу турбины, с угловой скоростью $\Omega$ (рис. 4.13). При этом вал турбины будет давить на подшипники с силами ${\displaystyle \bf Ф}\div {\displaystyle \bf Ф'},$ лежащими в горизонтальной плоскости. При качке эти силы, как и гироскопический момент, периодически меняют свое направление на противоположное и могут вызвать "рыскание" корабля, если он не слишком велик (например, буксира).

Рис. 4.13.

Допустим, что масса турбины $m = 3000 кг,$ ее радиус инерции $R_{ин} = 0,5 м,$ скорость вращения турбины $n = 3000 об/мин,$ максимальная угловая скорость корпуса судна при килевой качке $\Omega = 5 град/с,$ расстояние между подшипниками $\ell = 2 м.$ Максимальное значение гироскопической силы, действующей на каждый из подшипников, составляет

$Ф = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle M}}{\displaystyle {\displaystyle \ell }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J\omega \Omega }}{\displaystyle {\displaystyle \ell }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle mR_{ин}^{2} \cdot 2\pi n \cdot \Omega }}{\displaystyle {\displaystyle \ell }}}.$

(4.19)

После подстановки числовых данных получим $Ф \approx 10^{4} H,$ то есть около 1 тонны.

Пример 3. Гироскопические силы могут вызвать так называемые колебания "шимми" колес автомобиля (рис. 4.14) [В.А. Павлов, 1985]. Колесу, вращающемуся вокруг оси AA' с угловой скоростью $\omega ,$ в момент наезда на препятствие сообщается дополнительная скорость вынужденного поворота вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка. При этом возникает момент гироскопических сил, и колесо начнет поворачиваться вокруг оси BB'. Приобретая угловую скорость поворота вокруг оси BB', колесо снова начнет поворачиваться вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка, деформируя упругие элементы подвески и вызывая силы, стремящиеся вернуть колесо в прежнее вертикальное положение. Далее ситуация повторяется. Если в конструкции автомобиля не принять специальных мер, возникшие колебания "шимми" могут привести к срыву покрышки с обода колеса и к поломке деталей его крепления.

Рис. 4.14.

Пример 4. С гироскопическим эффектом мы сталкиваемся и при езде на велосипеде (рис. 4.15). Совершая, например, поворот направо, велосипедист инстинктивно смещает центр тяжести своего тела вправо, как бы заваливая велосипед. Возникшее принудительное вращение велосипеда с угловой скоростью $\Omega$ приводит к появлению гироскопических сил с моментом $\bf {\displaystyle M}'$ На заднем колесе этот момент будет погашен в подшипниках, жестко связанных с рамой. Переднее же колесо, имеющее по отношению к раме свободу вращения в рулевой колонке, под действием гироскопического момента начнет поворачиваться как раз в том направлении, которое было необходимо для правого поворота велосипеда. Опытные велосипедисты совершают подобные повороты, что называется, "без рук".

Рис. 4.15.

Вопрос о возникновении гироскопических сил можно рассматривать и с другой точки зрения. Можно считать, что гироскоп, изображенный на рис. 4.10, участвует в двух одновременных движениях: относительном вращении вокруг собственной оси с угловой скоростью $\omega$ и переносном, вынужденном повороте вокруг вертикальной оси с угловой скоростью $\Omega .$ Таким образом, элементарные массы $\Delta m_{i} ,$ на которые можно разбить диск гироскопа (маленькие кружки на рис. 4.16), должны испытывать кориолисовы ускорения

${\displaystyle \bf a}_{i кор} = 2 \Omega\times {\displaystyle \bf v}_{i отн} .$

(4.20)

Эти ускорения будут максимальны для масс, находящихся в данный момент времени на вертикальном диаметре диска, и равны нулю для масс, которые находятся на горизонтальном диаметре (рис. 4.16).

Рис. 4.16.

В системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью $\Omega$ (в этой системе отсчета ось гироскопа неподвижна), на массы $\Delta m_{i}$ будут действовать кориолисовы силы инерции

$F_{i кор} = 2\Delta m_{i} {\displaystyle \bf v}_{отн} \times \Omega$

(4.21)

Эти силы создают момент ${\displaystyle \bf {\displaystyle M}'},$ который стремится повернуть ось гироскопа таким образом, чтобы вектор \omega совместился с $\omega.$ Момент $\bf {\displaystyle M}'$ должен быть уравновешен моментом сил реакции ${\displaystyle \bf F}\div {\displaystyle \bf {\displaystyle F}'},$ действующих на ось гироскопа со стороны подшипников. По третьему закону Ньютона, ось будет действовать на подшипники, а через них и на раму, в которой эта ось закреплена, с гироскопическими силами ${\displaystyle \bf Ф}\div {\displaystyle \bf Ф'}.$ Поэтому и говорят, что гироскопические силы обусловлены силами Кориолиса.

Возникновение кориолисовых сил можно легко продемонстрировать, если вместо жесткого диска (рис. 4.16) взять гибкий резиновый лепесток (рис. 4.17). При повороте вала с раскрученным лепестком вокруг вертикальной оси лепесток изгибается при прохождении через вертикальное положение так, как изображено на рис. 4.17.

Рис. 4.17.

Волчки.

Волчки кардинально отличаются от гироскопов тем, что в общем случае они не имеют ни одной неподвижной точки. Произвольное движение волчков имеет весьма сложный характер: будучи раскручены вокруг оси симметрии и поставлены на плоскость, они прецессируют, "бегают" по плоскости, выписывая замысловатые фигуры, а иногда даже переворачиваются с одного конца на другой. Не вдаваясь в детали такого необычного поведения волчков, отметим лишь, что немаловажную роль здесь играет сила трения, возникающая в точке соприкосновения волчка и плоскости.

Кратко остановимся на вопросе об устойчивости вращения симметричного волчка произвольной формы. Опыт показывает, что если симметричный волчок привести во вращение вокруг оси симметрии и установить на плоскость в вертикальном положении, то это вращение в зависимости от формы волчка и угловой скорости вращения будет либо устойчивым, либо неустойчивым.

Пусть имеется симметричный волчок, изображенный на рис. 4.18. Введем следующие обозначения: О - центр масс волчка, $h$ - расстояние от центра масс до точки опоры; K - центр кривизны волчка в точке опоры, $r$ - радиус кривизны; $J_{z}$ - момент инерции относительно оси симметрии, $J_{x}$ - момент инерции относительно главной центральной оси, перпендикулярной оси симметрии.

Рис. 4.18.

Анализ устойчивости вращения волчка приводит к диаграмме, изображенной на рис. 4.19. Здесь по оси абсцисс отложено отношение ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle J_{x} }}},$ а по оси ординат - отношение ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle h}}{\displaystyle {\displaystyle r}}}.$

Рис. 4.19.

Проведем гиперболу $\frac{\displaystyle {\displaystyle h}}{\displaystyle {\displaystyle r}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle J_{z} / J_{x} }}$ и прямую ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle h}}{\displaystyle {\displaystyle r}}} = 1.$ Эти линии делят область положительных значений $\frac{\displaystyle {\displaystyle h}}{\displaystyle {\displaystyle r}}}, {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle J_{x} }}$ на 4 части.

Область I соответствует неустойчивому вращению волчка при всех угловых скоростях, область II - устойчивому вращению при достаточно больших угловых скоростях $\omega \gt \omega _{кр} .$ Область III соответствует устойчивому вращению при малых угловых скоростях $\omega \lt \omega _{кр} ,$ область IV - устойчивому вращению при произвольных $\omega .$ Критическая угловая скорость $\omega_{кр}$ зависит от моментов инерции $J_z, J_y,$ расстояний $r, h$ и веса тела $P=mg$ [К. Магнус, 1974]:

$\omega_{кр}^2=\frac{\displaystyle (h-r)\cdot P}{\displaystyle J_x (r/h)\cdot (J_z /J_x - r/h)}$

(4.22)

Рассмотрим, например, китайский волчок, раскрученный до $\omega \gt \omega _{кр} ,$ и поставленный на плоскость вертикально, как показано на рис. 4.20а. Пусть $J_{z} = J_{x} .$ Поскольку $h \lt r,$ то этой ситуации соответствует точка 1 в области III на рис. 4.19, то есть область устойчивого вращения лишь при малых $\omega .$ Таким образом, в нашем случае $\left( {\displaystyle \omega \gt \omega _{кр} } \right)$ вращение будет неустойчивым, и волчок перевернется на ножку (точка 2 в области II на рис. 4.19).

Рис. 4.20.

Следует обратить внимание, что в процессе переворачивания волчка результирующий момент импульса сохраняет свое первоначальное направление, то есть вектор L, все время направлен вертикально вверх. Это означает, что в ситуации, изображенной на рис. 4.20б, когда ось волчка горизонтальна, вращение вокруг оси симметрии волчка отсутствует! Далее, при опрокидывании на ножку, вращение вокруг оси симметрии будет противоположно исходному (если смотреть все время со стороны ножки, рис. 4.20в).

В случае яйцеобразного волчка поверхность тела в окрестности точки опоры не является сферой, но существуют два взаимно перпендикулярных направления, для которых радиус кривизны в точке опоры принимает экстремальные (минимальное и максимальное) значения. Опыты показывают, что в случае, изображенном на рис. 4.21а, вращение будет неустойчивым, и волчок принимает вертикальное положение, раскручиваясь вокруг оси симметрии и продолжая устойчивое вращение на более остром конце. Это вращение будет продолжаться до тех пор, пока силы трения не погасят в достаточной мере кинетическую энергию волчка, угловая скорость уменьшится (станет меньше $\omega _{0}$ ), и волчок упадет.

Рис. 4.21.

Литература

А.Н. Матвеев. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986.
С.П. Стрелков. Механика. М.: Наука, 1975.
С.Э. Хайкин. Физические основы механики. М.: Наука, 1971.
Д.В. Сивухин. Общий курс физики. Т.1. Механика. М.: Наука, 1989.
Р.В. Поль. Механика, акустика и учение о теплоте. М.: Наука, 1971.
Р. Фейнман и др. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1977.
Ч. Киттель, У. Найт, М. Рудерман. Механика. М.: Наука, 1983.
К. Магнус. Гироскоп. Теория и применение. М., 1974.
В.А. Павлов. Гироскопический эффект, его проявления и использование. Л., 1985.

Публикации с ключевыми словами: механика - твердое тело - углы Эйлера Публикации со словами: механика - твердое тело - углы Эйлера
См. также: Механика сплошных сред Вариационные принципы механики Анизотропия

Мнения читателей [2]

Версия для печати

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце