Астронет > Датировка каталога Птолемея

по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод по каталогу

Датировка каталога Птолемея

<< Случай o² Eri | Оглавление | Результаты >>

"Коллективный" метод

Рассмотрим еще один вариант метода датировки каталога с использованием собственных движений звезд, который подробно изложен в [14]. Пусть $\lambda$ _Alm и $\beta$ _Alm – эклиптические координаты звезд, приведенные в Альмагесте, а $\lambda$ ₀ и $\beta$ ₀ – соответствующие координаты тех же звезд на эпоху нулевого года нашей эры (а точнее – первого года до нашей эры, который непосредственно предшествует первому году нашей эры), вычисленные на основании современных высокоточных положений и собственных движений (взятых из каталогов HIPPARCOS или Bright Star Catalogue), а также формул прецессии. Рассмотрим величины O-C, то есть разности наблюденных (приведенных в “Альмагесте”) эклиптических координат звезд и координат тех же звезд, рассчитанных на эпоху первого года до н.э. по данным современных каталогов и измеряемых минутами дуги: $\Delta\lambda$ = $\lambda$ _Alm - $\lambda$ ₀ and $\Delta\beta$ = $\beta$ _Alm - $\beta$ ₀. Далее мы предполагаем, что эти разности остаются в среднем постоянными в пределах небольшой окрестности рассматриваемой звезды [1], то есть:
$\Delta\lambda \cos\beta =\Delta\lambda_{\rm sys}\cos\beta +\Delta\lambda_{\rm a}\cos\beta$ (1)

и
$\Delta\beta = \Delta\beta_{\rm sys} + \Delta\beta_{\rm a}\,.$ (2)

где $\Delta\lambda$ _syscos $\beta$ и $\Delta\beta$ _sysпредставляют собой местные систематические ошибки координат, приведенных в Альмагесте (которые, как сказано выше, считаются одинаковыми для всех звезд в рассматриваемой окрестности на небе), а $\Delta\lambda$ _acos $\beta$ и $\Delta\beta$ _a представляют собой случайные компоненты ошибок соответствующих координат и, по определению, в среднем равны нулю. Мы также предполагаем, что среднеквадратичные ошибки величин $\Delta\lambda$ _acos $\beta$ и $\Delta\beta$ _a остаются постоянными в пределах рассматриваемой окрестности на небе и равны, соответственно, $\sigma\lambda\cos\beta$ и $\sigma\beta$ . В приведенных выше формулах неявно предполагается, что либо собственные движения звезд пренебрежимо малы либо координаты звезд в Альмагесте были измерены в первом году до н.э. (и поэтому собственные движения не имеют значения). Если же эпоха древних наблюдений звезд отличается от 0 и равна T_cat, то уравнения (1) и (2) следует уточнить, добавив в них члены, учитывающие собственные движения звезд:
$\Delta\lambda\cos\beta=\Delta\lambda_{\rm sys}\cos\beta +\Delta\lambda_{\rm a}\cos\beta + \frac{1}{60}\mu_\lambda T_{\rm cat}$ (3)

и
$\Delta\beta=\Delta\beta_{\rm sys} +\Delta\beta_{\rm a} +\frac{1}{60}\mu_\beta T_{\rm cat}\,,$ (4)

где $\mu_\lambda$ и $\mu_\beta$ -- это компоненты собственного движения (в секундах дуги в год) по эклиптической долготе и широте, соответственно (коэффициент 1/60 преобразует собственные движения из угловых секунд в год в единицы угловых минут в год). Далее мы разбиваем каталог Альмагест на два подмножества – к одному относятся звезды с большими по абсолютной величине собственными движениями, а ко второму – остальные, медленные звезды. Тогда уравнения (3) и (4) можно написать как для быстрой звезды, так и для ближайших к ней N медленных звезд, распложенных в области неба, в пределах которой систематические ошибки координат можно считать одинаковыми для всех звезд:
$\Delta\lambda^r\cos\beta^r = \Delta\lambda_{\rm sys}\cos\beta^r + \Delta\lambda^r_{\rm a}\cos\beta^r + \frac{1}{60}\mu^r\lambda T_{\rm cat}$ (5)

и
$\Delta\beta^r = \Delta\beta_{\rm sys} + \Delta\beta^r_{\rm a} + \frac{1}{60}\mu^r\beta T_{\rm cat}\,.$ (6)

Здесь индекс r означает, что речь идет о медленных, опорных звездах (фактически используемых для оценки местных систематических ошибок $\Delta\lambda$ _syscos $\beta$ и $\Delta\beta$ _sys, одинаковых для всех звезд в рассматриваемой окрестности). Далее мы усредняем уравнения (5) и (6) по N медленным звездам в окрестности быстрой звезды:
$\langle\Delta\lambda^r\cos\beta^r\rangle = \Delta\lambda_{\rm sys}\langle\cos\beta^r\rangle + \frac{1}{60}\langle\mu^r\lambda\rangle T_{\rm cat}$ (7)

и
$\langle\Delta\beta^r\rangle = \Delta\beta_{\rm sys} + \langle\Delta\beta^r_{\rm a}\rangle + \frac{1}{60}\langle\mu^r\beta\rangle T_{\rm cat}\,.$ (8)

(средние значения случайных ошибок считаются равными нулю). Вычитая уравнения (7) и (8) из уравнений (3) и (4), соответственно, получаем:

$\Delta\lambda^*\cos\beta^* - \langle\Delta\lambda^r\cos\beta^r\rangle = \frac{1}{60} \left( \mu^*\lambda \langle\mu^r\lambda\rangle\right) T_{\rm cat} + \Delta\lambda^{\prime *}_{\rm a}$ (9)

и
$\Delta\beta^* - \langle\Delta\beta^r\rangle = \frac{1}{60} \left( \mu^*\beta - \langle\mu^r\beta\rangle \right) T_{\rm cat} + \Delta\beta^{\prime *}_{\rm a}\,.$ (10)

Индекс ^* означает, что соответствующие величины относятся к быстрой звезде. Здесь неизвестными величинами являются случайные ошибки $\Delta\lambda^{\prime *}$ _a = ( $\Delta\lambda^{*}$ _a cos $\beta$ ) и $\Delta\beta^{\prime *}$ _a, и эпоха наблюдения каталога T_cat. Общая идея предлагаемого метода проиллюстрирована на рис. 7.

Рис. 7. Разность координат, приведенных в "Альмагесте" и вычисленных на эпоху первого года до н.э. (минус средняя такая разность для шести ближайших медленных звезд), в зависимости от соответствующей компоненты собственного движения для 50 самых быстрых звезд "Альмагеста".

Сплошной и штриховой линиями отмечены соответственно эпохи Гиппарха и Птолемея. Будучи умноженным на 60 наклон средней зависимости, определяемой большинством звезд, дает значение оптимальной эпохи наблюдения каталога (соответствующая линия не изображена на рисунке, поскольку она практически совпадает со сплошной линией).

На нем по горизонтальной оси отложены значения правых частей уравнений (9) и (10) (без множителя (1/60)), то есть, ( $\mu$ * $\beta$ - < $\mu$ ^r $\beta$ >) и ( $\mu$ * $\lambda$ - < $\mu$ ^r $\lambda$ >), а по вертикальной оси – левых частей соответствующих уравнений, то есть ( $\Delta\beta$ * - < $\Delta\beta$ ^r> и $\Delta\lambda$ * cos $\beta$ * - < $\Delta\lambda$ ^r cos $\beta$ ^r>). Темными кружками показаны “выбросы”, соответствующие измерениям, которые не использовались для датировки каталога, поскольку соответствующие координаты в Альмагесте отклоняются больше чем на три среднеквадратичных ошибки от общей зависимости, определяемой большинством быстрых звезд. Дата наблюдения каталога T_cat равна наклону (умноженному на 60) наилучшей линейной аппроксимации представленной светлыми кружками зависимости, а разброс точек относительно этой зависимости дает оценки среднеквадратичных случайных ошибок соответствующих координат. Отметим, что здесь, в отличие от [12], не получаем индивидуальных датировок каталога по отдельным звездам, а используем всю выборку быстрых звезд для коллективной датировки каталога и исключения сильно отклоняющихся измерений. Видно, что разумные индивидуальные датировки можно получить только по самым быстрым звездам (с наибольшими абсолютными значениями собственных движений). Однако менее быстрые звезды тем не менее очень важны, поскольку позволяют оценить среднеквадратичные ошибки координат и, следовательно, исключить сильно отклоняющиеся измерения. К тому же, как будет видно ниже, разумную датировку можно получить даже без нескольких самых быстрых звезд, если использовать более медленные звезды совместно, а не по отдельности.

Для определения эпохи каталога Альмагест T_cat, мы решаем системы уравнений (9) и (10) для всех быстрых звезд обычным методом наименьших квадратов. Таким образом, мы получаем две независимые оценки T_cat – по долготам (уравнения (9)) и широтам (уравнения (10)), которые далее обозначаются как $T\lambda$ и $T\beta$ , а также их среднеквадратичные ошибки $\sigma T\lambda$ и $\sigma T\beta$ , и среднеквадратичные случайные ошибки эклиптических координат $\sigma\lambda^*$ _a и $\sigma\beta^*$ _a. Совместное решение объединенной системы уравнений (9) и (10) с весами, обратно пропорциональными $\sigma T\lambda$ и $\sigma T\beta$ , позволяет получить уточненную датировку $T\lambda\beta$ .

<< Случай o² Eri | Оглавление | Результаты >>

Публикации с ключевыми словами: Фоменко - астрохронология - Альмагест - Птолемей Публикации со словами: Фоменко - астрохронология - Альмагест - Птолемей
См. также: Датировка каталога Птолемея

Обсудить эту публикацию

Версия для печати

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце