по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод по каталогу

Размерности и подобие астрофизических величин << § 1.5 Мировые (фундаментальные) постоянные | Оглавление | § 2.2 Взаимодействие электромагнитного излучения и вещества >>

Глава II. Гравитация и электромагнетизм

Все многообразие процессов, протекающих в природе, как известно, определяется четырьмя видами взаимодействий: сильным, электромагнитным, слабым и гравитационным. Сильные взаимодействия определяют ядерные силы. Электромагнитные взаимодействия существенны для структуры атомов, химических реакций, явлений излучения. Слабые взаимодействия определяют некоторые превращения элементарных частиц (например, протона в нейтрон и обратно) и поэтому также существенны для характеристики атомных ядер. Гравитационное взаимодействие характеризует всю крупномасштабную структуру мира.

Каждое из этих взаимодействий характеризуется своей константой и радиусом действия. Два из четырех взаимодействий - электромагнитное и гравитационное считаются далыюдействующими - сила взаимодействия спадает обратно пропорционально квадрату расстояния. Константы этих взаимодействий определяются достаточно уверенно: α; = е²/ħс = 1/137 для электромагнитного и δ = Gm_p²/ħс = 6 ⋅; 10^-39 для гравитационного. Два других взаимодействия имеют очень малый радиус действия (порядка размера ядра) и плохо определяемые константы взаимодействия - порядка 1-10 для сильного и около 10^-12 для слабого.

В астрофизических проблемах определенную роль играют все четыре вида взаимодействий. Ядерные реакции определяют энергетику звезд. Слабые взаимодействия существенны для нейтринной астрофизики. Но наибольшую роль в астрофизике играют гравитационное и электромагнитное взаимодействия. И именно при изучении явлений, связанных с этими взаимодействиями, методы теории размерностей оказываются наиболее полезными.

Поэтому в данной главе будут рассмотрены некоторые простые примеры, характеризующие размерностные соотношения между астрофизическими величинами. Как правило, мы не будем выводить новых соотношений. Задача этой главы заключается в том, чтобы показать, какими наглядными и простыми становятся уже известные формулы, если проанализировать их размерностную структуру. В частности, мы увидим, что таким путем легче получить простые количественные оценки явлений.

§ 2.1 Определяющие параметры гравитации

Закон всемирного тяготения управляет структурой и развитием подавляющего большинства различных небесных тел. Поэтому постоянная гравитационного взаимодействия, G, входит в качестве одного из определяющих параметров в очень многие астрофизические задачи. Очень часто этот параметр является и самым главным. Например, структура звездных систем и галактик почти исключительно определена законом всемирного тяготения; характеристики "черных дыр" также целиком определяются гравитационными свойствами материи; гравитационное сжатие протозвезд объясняет образование звезд вообще; велика роль гравитации в эффекте аккреции. Таких примеров много.

Разумеется, гравитация существенна и для определения характеристик всех типов звезд. Но их структура тесно связана и с давлением газа, которое уравновешивает силу притяжения, и с ролью переноса энергии в звезде. Поэтому при определении свойств звезд гравитация выступает лишь в качестве одного из нескольких определяющих равновесных параметров, основанных на разных физических законах. Свойствам звезд будут посвящены следующие главы. В этом параграфе мы рассмотрим такие системы, свойства которых почти целиком зависят от закона всемирного тяготения.

Перечислим основные определяющие параметры в системах с преобладающей ролью гравитации. Основных единиц размерности здесь три - грамм, сантиметр, секунда. Тепловых эффектов мы не учитываем и поэтому температурная единица опускается. Первые три параметра с независимыми размерностями, входящие в качестве определяющих почти в любую задачу, это

$\left. \begin{array}{l} \, [G] = \frac{\mbox{см}^3}{\mbox{г} \cdot \mbox{сек}^2} - \mbox{гравитационная постоянная}, \\ \, [M] = \mbox{г} - \mbox{масса тела или системы}, \\ \, [R] = \mbox{см} - \mbox{ характерный размер}. \end{array} \right\}$ (2.1)

Во многих случаях масса и размер встречаются в комбинации, соответствующей определению средней плотности системы или тела:

$[\bar\rho] = [M \cdot R^{-3}] = \frac{\mbox{г}}{\mbox{см}^3}.$ (2.2)

В плоских системах, где размер в одном направлении много меньше размера в двух других направлениях, определяющим параметром является поверхностная плотность

$[\bar\rho_s] = [M \cdot R^{-2}] = \frac{\mbox{г}}{\mbox{см}^2}.$ (2.3)

Гравитирующие системы часто вращаются, колеблются или пульсируют, сжимаются или расширяются. Эти явления характеризуются параметрами с размерностью времени. В дальнейшем угловую скорость вращения будем обозначать через Ω;;; , частоту колебаний через ω, а характерное время сжатия или расширения будем обозначать через Р. Таким образом,

$[\Omega] = [\omega] = [P^{-1}] = \mbox{сек}^{-1}.$ (2.4)

Еще одна группа важных параметров гравитационных систем и тел имеет размерность скорости. Но сами величины скорости различны. Во вращающихся системах существенна линейная скорость вращения, которую мы будем записывать в виде v_R = Ω;;;R, Линейная скорость вращения различна на разных расстояниях от оси вращения, как, впрочем, может меняться с этим расстоянием и Ω;;; , но величина v_R служит характерным значением этого параметра.

В звездных системах, состоящих из отдельных взаимодействующих друг с другом звезд и подсистем (скоплений) звезд, существенную роль играет дисперсия хаотических скоростей звезд. Эту величину мы будем обозначать как 〈v²〉.

Если в системе возникнет какое-либо возмущение, то оно может распространяться по всей системе. Скорость распространения возмущений мы обозначим через v_c. В газовой среде это может быть обычная скорость звука, но возмущения распространяются, например, и по звездным системам, где нет газа и звука в его обычном понимании. Кроме того, если в системе есть магнитное поле, то скорость распространения возмущений включает в себя и альвеновскую скорость. Иными словами, ис есть некоторый параметр, задаваемый физическими условиями в системе. Наконец, в тех случаях, когда важны эффекты теории относительности, определяющим параметром является и скорость света с. Таким образом, следующая группа определяющих параметров имеет размерность скорости:

$[v_R] = [\sqrt{\langle v^2 \rangle}] = [v_c] = [c] = \mbox{см $\cdot$ сек}^{-1}.$ (2.5)

Последним, но очень важным параметром, который мы здесь определим, является давление вещества, обозначаемое в дальнейшем через р. Во многих случаях давление вещества в гравитирующей системе определяет условие равновесия, обеспечивая стационарность системы. Равновесные звездные системы могут существовать и без давления. С другой стороны, есть случаи, когда никакое давление вещества не в состоянии остановить гравитационное сжатие.

Давление определяется состоянием вещества, его плотностью, температурой, молекулярным весом. В астрофизике часто употребляется так называемое политропное состояние, когда предполагается, что давление вещества определяется только его плотностью и что эту зависимость можно записать в степенном виде:

$p = K_\gamma \rho^\gamma .$ (2.6)

где γ - постоянное число, называемое показателем политропы (часто употребляется индекс политропы n = 1/(γ - 1)), и K_γ - некоторая константа, называемая политропной температурой (хотя она ничего общего с обычной температурой не имеет).

Политропная зависимость (2.6) часто встречается в реальных условиях. Например, этой формулой можно описать давление вырожденного газа, где роль температурных эффектов вообще мала. Формула (2.6) описывает связь между давлением и плотностью в тех случаях, когда энтропия таза одинакова во всех частях системы, например, это имеет место тогда, когда энергия переносится конвекцией. Так что выводы, полученные с помощью политропного закона, могут быть использованы для интерпретации многих явлений. Но даже и в тех случаях, когда давление не определяется однозначно плотностью, или когда нет степенной зависимости, формула (2.6) может служить хорошим аппроксимациоиным выражением. Размерности параметров (2.6) следующие:

$[p] = \frac{\mbox{эрг}}{\mbox{сек}^3} = \frac{\mbox{г}}{\mbox{см} \cdot \mbox{сек}^2}, \quad [\gamma] = 1, \quad [K_\gamma] = \frac{\mbox{см}^{3\gamma - 1}}{\mbox{г}^{\gamma - 1} \cdot \mbox{сек}^2}.$ (2.7)

Кроме этих основных определяющих параметров, в зависимости от условий задачи, вводятся и другие параметры. Так, например, можно ввести определяющий параметр с размерностью силы, можно также находить энергию гравитационных конфигураций. В задаче об аккреции определяющим параметром является скорость изменения массы тела и т. д.

Итак, три определяющих параметра G, М, R или G, М, ρ имеют независимые размерности и включают в себя три основные единицы размерности: г, см, сек. Поэтому простейшими задачами будут такие, в которых всего четыре определяющих параметра. Тогда из П-теоремы следует, что в этом случае имеется только одна безразмерная комбинация. Для иллюстрации начнем со следующей простой задачи.

Пробное тело обращается вокруг центра массы М. Требуется найти зависимость между периодом обращения Р и радиусом орбиты R. Составим матрицу размерности для четырех определяющих параметров: G, М, Р, R.

Имеем:

$\begin{matrix} \, & [G] & [M] & [P] & [R] \\ \mbox{г}&-1&1&0&0 \\ \mbox{см}&3&0&0&1 \\ \mbox{сек}&-2&0&1&0 \end{matrix}$

Решение уравнений, следующих из этой матрицы, дает только один безразмерный комплекс

$\Pi = P^2 GMR^{-3}.$ (2.8)

Это есть не что иное, как хорошо известный закон Кеплера:

$\frac{P^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{GM},$ (2.9)

которому соответствует численное значение безразмерного комплекса П=(2π)². В системе из двух звезд сравнимых масс M₁ и M₂:

$P = \frac{2\pi R^{3/2}}{\sqrt{G(M_1 + M_2)}}.$ (2.10)

Как известно, исследование двойных систем звезд очень важно тем, что здесь можно определить массу компонент звездной системы. Из (2.10) это с очевидностью следует. Серьезной трудностью является то, что в (2.10) входит сумма масс звезд, и для определения массы каждой звезды нужна дополнительная информация. Например, при исследовании спектрально-двойных или визуально-двойных звезд, когда можно измерить лучевые скорости каждой из компонент, отдельные массы определяются тем, что лучевые скорости звезд в системе обратно пропорциональны их массам. Еще одна трудность связана с тем, что обычно не известно наклонение плоскости орбиты к лучу зрения - в таком случае определяется только проекция расстояния на картинную плоскость. Однако в затменных системах, где луч зрения лежит в плоскости орбиты, величины M₁ и M₂ определяются однозначно.

В результате многочисленных исследований двойных систем звезд были определены массы многих отдельных звезд с достаточной точностью именно на основе соотношения (2.10), с учетом всех дополнительных фактров, в том числе и соотношения масса - светимость, о котором будет идти речь в следующей главе.

Соотношение (2.10) можно использовать и для определения масс двойных систем галактик, которые также встречаются довольно часто. Как и в случае звездных систем, здесь можно определить только суммарную массу двух галактик. Практически никогда нельзя оценить наклон плоскости орбиты к лучу зрения (т. е. наблюдается лишь проекция R). Но есть и еще одна трудность - период обращения галактик вокруг общего центра тяжести не может быть, разумеется, определен непосредственно из наблюдений, как это сравнительно легко делается в случае звезд. Поэтому здесь лучше вместо периода обращения ввести скорость движения галактик на орбите вокруг центра тяжести и переписать соотношение (2.8) в виде

$\Pi_1 = G(M_1 + M_2)R^{-1}v^{-2},$ (2.11)

где v = 2ρR/P и П₁ = 1 согласно (2.10). Из наблюдений можно определить только лучевую компоненту скорости v_r. Из всего сказанного выше следует, что применить это соотношение к определению масс в некоторой конкретной индивидуальной двойной системе галактик нельзя. Но можно воспользоваться статистическими соображениями, использовав средние лучевые скорости и средние проекции расстояний между компонентами в двойной системе галактик, полученными при наблюдениях многих подобных систем. Тогда численное значение безразмерного комплекса в (2.11) уже отлично от единицы и его можно определить статистически, если считать, что компоненты пары галактик равномерно распределены по своим орбитам, а сами орбиты равномерно ориентированы в пространстве. Тогда в (2.11) имеем для средних значений расстояний между компонентами и их средних лучевых скоростей соотношение

$\frac{G(\overline{M_1 + M_2})}{\bar R \cdot \overline {v_r^2}} = 3,39,$ (2.12)

которое определяет среднее значение суммарной массы галактик в двойных системах. Благодаря тому, что измеряемые значения лучевой скорости всегда меньше истинных полных скоростей, а среднее значение измеряемой проекции расстояния меньше его истинного значения, численное значение безразмерного комплекса оказалось больше единицы.

Этим путем Пейдж определил массы разных типов галактик. Для выборки из 45 эллиптических галактик типа Е и SO средняя масса оказалась равной 4 ⋅ 10¹¹ масс Солнца, а для выборки из 20 спиральных и иррегулярных галактик получено среднее значение массы порядка 3 ⋅ 10¹⁰ масс Солнца. По аналогии с комплексом П₁ можно построить и другие безразмерные комплексы, в которых к трем основным параметрам G, М, R добавлен параметр с размерностью времени (или угловая скорость с размерностью обратного времени), например,

$\Pi_2 = \frac{\Omega^2 R^3}{GM} = \frac{\Omega^2}{G\rho} = \frac{\omega^2}{G\rho} = \frac{1}{P^2 G\rho}.$ (2.13)

Эти соотношения выражают следующий общий закон гравитнрующих систем - их временные характеристики определяются средней плотностью системы. Следствие этого закона для пульсирующих звезд было рассмотрено в гл. 1 (формулы (1.16) - (1.18)).

Комплекс П₂ можно использовать при рассмотрении самых различных объектов: двойных звезд и галактик, пульсирующих звезд, вращающихся галактик, простейших космологических моделей. Всюду, где существенны характеристики с размерностью времени, безразмерные комплексы П₂ оказываются порядка единицы. Так, ничего не зная о структуре звездной системы, кроме того, что она плоская и быстро вращается, можно утверждать, что ее угловая скорость порядка $\sqrt{G\rho}$ . Если звезда может пульсировать, то независимо от ее строения частота колебаний порядка $\sqrt{G\bar\rho}$ , где $\bar\rho$ - средняя плотность. Не зная деталей сжатия протозвезды, но считая, что противодавление не играет заметной роли, можно утверждать, что характерное время сжатия порядка $(G\bar\rho)^{-1/2}$ . Разумеется, эти оценки грубые, дающие только порядок величин, но здесь важна именно общность этих оценок.

Теперь построим безразмерный комплекс, используя величину дисперсии скоростей. Запишем матрицу размерности в таком виде:

$\begin{matrix} \, & [G] & [M] & [R] & [\langle v^2 \rangle] \\ \mbox{г}&-1&1&0&0 \\ \mbox{см}&3&0&1&2 \\ \mbox{сек}&-2&0&0&-2 \end{matrix}$

Отсюда следует единственный безразмерный комплекс

$\Pi_3 = \langle v^2 \rangle RG^{-1}M^{-1}.$ (2.14)

Если величина скорости имеет другой физический смысл (вращательная скорость, скорость распространения возмущений, скорость света), то мы получим аналогичные выражения:

$\frac{v_R^2 R}{GM}, \quad \frac{v_c^2 R}{GM}, \quad \frac{c^2 R}{GM}.$ (2.15)

Первый из этих комплексов совпадает с первым из комплексов П₂; он существен для анализа вращающихся систем. В невращающихся системах средняя дисперсия скоростей, если система находится в равновесии, порядка GM/R. Это означает, что их кинетическая энергия порядка абсолютной величины потенциальной энергии скопления

$\frac{1}{2}M\langle v^2 \rangle \approx \frac{GM^2}{R}.$ (2.16)

Это соотношение, в силу его общности, широко применяется в астрономии для определения масс систем, если известны их размеры и дисперсия скоростей (или скорости вращения во вращающихся системах).

Возможность оценки масс звездных систем по наблюдаемой дисперсии скоростей была предложена впервые Эддингтоном. Величину численного значения комплекса П₃ можно оценить из разных соображений. Если скорости звезд в скоплении близки к параболическим, то П₃ = 1, если же имеет место вириальное распределение, когда кинетическая энергия равна половине гравитационной потенциальной энергии, то П₃ = ½ (вторая половина потенциальной энергии представляет собой энергию связи скоплений). Поэтому с точностью до постоянной, отличающейся от единицы не более чем в два раза можно написать формулу для определения массы скопления гравитирующих объектов, если известны дисперсия скоростей и характерный размер:

$M \approx 2\frac{R}{G}\langle v^2 \rangle .$ (2.17)

С помощью этой формулы Паренаго, например, для скопления Плеяды ( $\sqrt{\langle v^2 \rangle} \approx 0,42$ км ⋅ сек^-1 и R = 3,5 пс = 10¹⁹ см) получил M ≈ 300 M_☉. Для шарового скопления М 92 измерения дают $\sqrt{\langle v^2 \rangle} = 19,5$ км ⋅ сек^-1, R = 21 пс; получаем массу M ≈ 10⁶M_☉.

Подобным образом можно оценить массу и нашей Галактики, использовав дисперсию скоростей звезд в окрестностях Солнца. Здесь $\sqrt{\langle v^2 \rangle} = 100$ км ⋅ сек^-1, расстояние от Солнца до центра Галактики R = 10 кпс. Отсюда масса Млечного Пути M ≈ 10¹¹M_☉.

Эллиптические галактики не разрешаются на отдельные звезды и поэтому здесь нельзя оценить дисперсию скоростей из непосредственных наблюдений отдельных звезд. Но эту оценку можно получить другим способом.

Совокупность всех звезд эллиптической галактики дает так называемый интегральный спектр, в котором интенсивности наиболее сильных линий, например, резонансных линий ионизованного кальция, складываются. Эти суммарные линии расширены тепловыми эффектами, турбулентностью в атмосферах звезд и дисперсией скоростей самих звезд. Как правило, последний эффект дает наибольшее расширение, поскольку дисперсии скоростей звезд порядка сотни километров в секунду, а дисперсии скоростей турбулентности в звездах - не более десятка км/сек. Поэтому по наблюдению интегрального спектра можно получить дисперсию скоростей звезд и в тех случаях, когда разрешение на отдельные звезды не удается провести. Подобным образом были определены массы галактики М 32 (спутника туманности Андромеды), для которой Минковский получил $\sqrt{\langle v^2 \rangle} = 100$ км ⋅ сек^-1, R = 1 кпс, M ≈ 5 ⋅ 10⁹M_☉ и некоторых компактных галактик, для которых Цвикки и Сэржент получили значения до 10¹³M_☉.

В скоплениях галактик вновь можно измерять скорости отдельных членов скопления. В известном скоплении в созвездии Волосы Вероники дисперсия скоростей по наблюдениям 23 галактик, входящих в это скопление (Майел, Хьюмасон и Сэндидж), оказалась $\sqrt{\langle v^2 \rangle} \approx 1037$ км ⋅ сек^-1. При размере скопления порядка R = 6,6 ⋅ 10²⁴ см получаем для массы этой системы M ≈ 10¹⁵M_☉.

Все сказанное выше служит не только иллюстрацией применения методов анализа размерностей для нахождения соотношений между основными параметрами звездных и галактических систем, но и было использовано для нахождения по наблюдательным данным одного из важнейших параметров - массы системы, которая, в отличие от размера, не может быть определена из наблюдений непосредственно.

Рассматривая второй комплекс из (2.15), учитывающий распространение возмущений в среде, нужно учесть, что под М теперь следует понимать массу той части системы, которая принимает участие в распространении возмущений. Например, в нашей Галактике со скоростью звука или с альвеновекой скоростью (для магнитных явлений) распространяются только возмущения в межзвездной среде. Поэтому здесь фигурирует лишь масса межзвездной компоненты Галактики, и действительно безразмерный комплекс $Rv_c^2 G^{-1} M_g^{-1}$ - порядка единицы, если M_g - масса межзвездного газа и v_c - скорость звука в этом газе.

Наконец, при учете эффектов теории относительности, т. е. при v → c, большую роль играет безразмерный комплекс

$\Pi_3 = \frac{c^2R}{GM} \quad \mbox{или} \quad \Pi_3 = \frac{2R}{R_g},$ (2.18)

где величина

$R_g = 2\frac{GM}{c^2}$ (2.19)

носит название гравитационного радиуса, или радиуса Шварцшильда. Для большинства астрофизических объектов (нормальные звезды, скопления, галактики) фактор R/R_g >> 1, и влияние теории относительности можно не учитывать. Однако для ряда объектов (пульсары, "черные дыры", Метагалактика) R/R_g ≈ 1, и роль общей теории относительности становится определяющей. Эти явления - мы подробнее рассмотрим в последующих главах, однако здесь упомянем о трех известных эффектах общей теории относительности гравитационное красное смещение, движение перигелия планет и отклонение световых лучей в поле тяготения.

Эффект гравитационного (часто называемого эйнштейновским) смещения спектральных линий в красную сторону состоит в том, что квант света тратит свою энергию на преодоление силы тяжести. Получим соответствующую формулу наиболее простым путем. Кванту с энергией hν можно приписать массу m_Φ = hν/c². Двигаясь от звезды с массой М и радиусом R, он должен затратить энергию на преодоление силы тяжести звезды:

$\frac{GMm_\Phi}{R} = \frac{GMh\nu}{Rc^2} = \frac{h\nu}{2}\frac{R_g}{R}.$ (2.20)

Поэтому энергия фотона после того, как он выйдет из поля тяготения звезды, есть

$h\nu' = h\nu - \frac{h\nu}{2}\frac{R_g}{R} = h\nu\left(1 - \frac{R_g}{2R}\right),$ (2.21)

откуда относительная величина красного смещения

$\frac{\Delta\nu}{\nu} = -\frac{R_g}{2R},$ (2.22)

Для Солнца имеем Δν/ν = -2 ⋅ 10^-6, что, вообще говоря, можно измерять. К сожалению, сам эффект гравитационного смещения маскируется другими изменениями профиля линий. Более надежны измерения этого эффекта у белых карликов, но самые точные результаты получены на земле, в лабораторных условиях при помощи эффекта Мёссбауэра.

Второй эффект - вращение перигелия орбиты планеты. В рамках ньютоновской теории орбита планеты, обращающейся вокруг сферического притягивающего тела, сохраняет свое положение в пространстве. В рамках теории тяготения Эйнштейна положение планеты должно меняться. Можно показать (см., например, [1]), что большая полуось орбиты систематически поворачивается навстречу направлению вращения планеты. Изменение положения большой полуоси за одни период Р обращения планеты есть

$\frac{\Delta\phi}{2\pi} = 3\frac{R_g}{R},$ (2.23)

где R_g - гравитационный радиус центрального тела, R - радиус орбиты планеты. Если воспользоваться формулой (2.9), то можно определить и угловую скорость перемещения перигелия (или афелия):

$\frac{d\phi}{dt} = \frac{\Delta\phi}{P} = \frac{3}{\sqrt{2}}\frac{cR_g^{3/2}}{R^{5/2}},$ (2.24)

Эффект очень быстро уменьшается с увеличением расстояния от центрального тела: у Меркурия $\frac{d\phi}{dt} = 43,0''$ за сто лет, у Венеры и Земли соответственно 8" и 4" за сто лет. Наблюдения подтвердили теорию: смещение перигелия Меркурия по последним данным 43,11 ± 0,45" за сто лет, у Земли 4,6 ± 2,7" за сто лет.

Наконец, третий эффект заключается в отклонении световых лучей, проходящих мимо массивного тела. Этот эффект объясняется двумя причинами, дающими одинаковый вклад. С одной стороны, отклонение частично связано с тем же притяжением фотона к центральному телу. С другой стороны, согласно теории Эйнштейна пространство вокруг гравитирующего тела искривлено и поэтому искривляются все траектории. Общее отклонение

$\Delta\vartheta = 2\frac{R_g}{R}.$ (2.25)

Здесь R - минимальное расстояние, на котором луч света проходит мимо притягивающего тела.

Любопытно, что формулу (2.25), но с несколько другим множителем, можно получить и из следующего рассуждения. Луч света, проходящий по касательной к сфере Шварцшильда, т. е. на расстоянии R_g, будет захвачен, т. е. повернется на угол π/2. Отсюда имеем

$\Delta\vartheta = \frac{\pi}{2}\frac{R_g}{R},$ (2.26)

если считать, что Δθsym пропорционально малому отношению R/R_g. Формула (2.25) точнее, чем (2.26), на больших, расстояниях, т. е. при R >> R_g. Для отклонения луча света, проходящего мимо края Солнца, согласно (2.25) получим Δθsym = 1,75". Измерения в общем подтверждают это значение, хотя их трудно провести с достаточной точностью.

Получим теперь - безразмерный комплекс, в котором к тройке определяющих параметров добавлен параметр с размерностью энергии U. Матрица размерности для четырех параметров G, М, R и U имеет вид

$\begin{matrix} \, & [G] & [M] & [R] & [U] \\ \mbox{г}&-1&1&0&1 \\ \mbox{см}&3&0&1&2 \\ \mbox{сек}&-2&0&0&-2 \end{matrix}$

Этой матрице соответствует безразмерный комплекс

$URG^{-1}M^{-2} = \Pi_4.$ (2.27)

Из этого комплекса можно, например, получить формулу для потенциальной энергии гравитирующей сферы. По определению, потенциальная энергия какого-нибудь тела есть работа, которую необходимо затратить, чтобы всю массу данного тела удалить в бесконечность. Эта ситуация часто конкретно реализуется в астрофизике, например, при взрывах космических объектов, когда большая часть массы звезды покидает первоначальный объем. Имеем для потенциальной энергии

$U = -\mbox{const}\frac{GM^2}{R}.$ (2.28)

Численное значение безразмерного комплекса П₄ или константы в (2.28) зависит, в частности, и от распределения плотности внутри системы. Например, если считать, что плотность вещества распределена однородно внутри сферы, то П₄ = 5/6.

Сделаем оценку потенциальной энергии Солнца. При М = M_☉ = 2 ⋅ 10³³ г и R = 7 ⋅ 10¹⁰ см получаем U = 4 ⋅ 10⁴⁸ эрг. Точное значение составляет 7,4 ⋅ 10⁴⁸ эрг.

В астрофизике часто имеют дело со взрывами различных объектов (вспышки на поверхности Солнца и некоторых типов звезд, вспышки новых и сверхновых, взрывы в ядрах галактик). Многие свойства взрывающихся небесных тел часто остаются неизвестными и здесь могут помочь простые размерностные соотношения. Например, если известны энергетические характеристики взрыва звезды или ядра галактики, то из (2.28) можно оценить массу тела. При взрывах сверхновых образуется разлетающаяся газовая оболочка. Спектроскопические наблюдения позволяют определить массу и скорость оболочки и вычислить, таким образом, ее кинетическую энергию. Полученные значения энергии оказались заключенными в пределах 10⁴⁸ - 10⁵¹ эрг. В этих условиях можно предположить, что при взрыве разлетается почти вся масса звезды. Полагая, что по порядку величины кинетическая энергия оболочки и потенциальная энергия звезды сравнимы, можно оценивать таким способом массы взорвавшихся звезд. С точки зрения наблюдений все сверхновые делятся на два основных класса: с массами порядка солнечной (энергия взрыва 10⁴⁸ - 10⁴⁹ эрг) и с массами порядка десяти солнечных (10⁵⁰ - 10⁵¹ эрг). О проблеме сильного взрыва более подробно будет рассказано в гл. 7. Аналогичные соображения применимы и к взрывающимся объектам гораздо больших масс - квазарам и ядрам галактик. Эти вопросы мы рассмотрим в гл. 8.

Теперь обратимся еще к одному астрофизическому процессу, где гравитация является основным определяющим фактором - эффекту аккреции. Явление аккреции заключается в том, что небесное тело притягивает к себе окружающее вещество, которое при определенных условиях выпадает на поверхность тела. Обратным процессом в этом случае является звездный ветер - выбрасывание вещества от поверхности звезды с такой скоростью, что оно преодолевает гравитационное притяжение самой звезды. Иногда звездный ветер называют эжекцией.

Явление аккреции усиленно изучается в последнее время, особенно в связи с открытием рентгеновских источников. Принято считать, что некоторая часть галактических рентгеновских источников образуется при аккреции газа на релятивистский объект - "черную дыру" или нейтронную звезду. У таких объектов вблизи поверхности сильное гравитационное поле, и падающее вещество разогревается до высоких температур.

Мы не будем заниматься всеми многообразными процессами, происходящими при аккреции вещества на звезды (см. подробное изложение в [2]). Все они в той или иной мерс определяются гравитацией. Приведем лишь размерностное обсуждение основной задачи - определения количества вещества, выпадающего на звезду за единицу времени, т. е. величины dM/dt.

Сформулируем определяющие параметры задачи. Аккреция происходит под действием притяжения звезды с массой М. Будем пренебрегать собственным тяготением вещества, выпадающего на звезду. Это значит, что в таблицу определяющих параметров нет необходимости включать отдельно М и отдельно G; притяжение центральной звезды описывается одним параметром GM. Саму среду можно характеризовать плотностью ρ и характерной скоростью v, смысл которой мы определим несколько позже. Включая сюда и искомый параметр изменения массы звезды из-за аккреции в единицу времени dM/dt, получим следующую матрицу размерности:

$\begin{matrix} \, & [\frac{dM}{dt}] & [\rho] & [v] & [GM] \\ \mbox{г}&1&1&0&0 \\ \mbox{см}&0&-3&1&3 \\ \mbox{сек}&-1&0&-1&-2 \end{matrix}$

Решение уравнений, соответствующих этой матрице, позволяет получить безразмерный комплекс:

$\Pi_5 = \frac{dM}{dt} \rho^{-1}v^3(GM)^{-2}.$ (2.29)

Численное значение величины П₅ зависит от режима аккреции и от более точного определения характерной скорости. По существу, режим аккреции определяется полной дисперсией скоростей вещества - гидродинамической скоростью, тепловой скоростью, турбулентностью, движением звезды относительно вещества. Для получения размерностных соотношений можно под 〈v²〉 понимать сумму квадратов всех скоростей, от которых зависит режим аккреции. Если аккрецию можно приближенно считать сферически-симметричной, то из гидродинамических уравнений следует, что величина комплекса равна 2π, и потому имеем

$\frac{dM}{dt} = 2\pi\frac{\rho(GM)^2}{[\langle v^2 \rangle]^{3/2}}.$ (2.30)

Здесь 〈v²〉 есть дисперсия всех скоростей на большом расстоянии от тела. Среди определяющих параметров в (2.29) нет радиуса самой звезды. Пренебречь этим параметром можно тогда, когда движение газа описывается гидродинамическими уравнениями. При этом учитывается, что в процессе аккреции происходит сжатие и нагревание газа, а также образование ударных волн. Превращение направленных движений вещества в хаотические скорости перераспределяет момент движения газа относительно звезды так, что если на больших расстояниях от звезды относительные скорости движения газа и звезды больше параболической, то вблизи звезды, где хотя растет и параболическая скорость, но еще больше растут тепловые и турбулентные скорости газа, соотношение оказывается обратным. Здесь систематические скорости газа меньше параболических относительно звезды и, если рост температуры из-за высвечивания ограничен, вещество выпадает на звезду. Радиус звезды, на которую происходит аккреция, не существен.

В противоположном случае, когда столкновения между атомами газа очень редки и длина свободного пробега много больше размеров системы (например, радиуса звезды), нельзя применять гидродинамику, и движение отдельных частиц газа следует считать независимым. Каждая частица пролетает мимо звезды по гиперболической траектории и будет захвачена лишь в том случае, если минимальное расстояние ее траектории до притягивающего центра меньше радиуса тела R. Тогда к определяющим параметрам задачи нужно добавить R. Величина v есть скорость отдельных частиц на большом расстоянии от звезды.

Теперь соображения размерностей не дают одного безразмерного комплекса, но однозначный ответ можно получить, если предположить, что скорость аккреции пропорциональна плотности среды. Тогда получаем для dM/dt с учетом численного коэффициента, найденного при конкретном расчете движения частиц по кеплеровским гиперболическим траекториям (см. [2]):

$\frac{dM}{dt} = 2\pi\frac{\rho GM}{v} R,$ (2.31)

что меньше величины (2.30) на множитель Rv²/GM, который намного и всегда меньше единицы. В реальных астрофизических условиях длина свободного пробега частиц почти всегда оказывается небольшой даже в очень разреженной среде (например, из-за влияния магнитного поля, плазменной турбулентности и т. п.), так что следует пользоваться формулой (2.30). Вероятно, только в очень редких случаях аккрецию можно рассматривать в рамках представлений о свободном движении частиц, т. е. в пределах применимости формулы (2.31), дающей очень малое значение для величины аккреции.

Скорость аккреции пропорциональна плотности вещества. Ясно, что эффект будет заметен только в том случае, когда звезда находится в достаточно плотном облаке. По-видимому, наиболее существенно явление аккреции в двойных системах, где одна из звезд теряет массу, например, при заполнении своей полости Роша (см. гл. 4). а вторая звезда "собирает" эту массу при аккреции.

Здесь достаточно велика плотность ρ , входящая в формулы (2.30) и (2.31), но зато эффект аккреции тормозится тем, что газ имеет очень большой момент импульса относительно аккрецирующей звезды. Если здесь пренебречь вязким трением, то газ, выброшенный из первичной компоненты, не упадет на вторичную компоненту пары, а будет вращаться около нее по кеплеровским орбитам в виде диска. Вязкое трение газа забирает момент импульса из внутренних частей диска, уносит его во внешние части диска и только тогда оказывается возможной аккреция. В подобных случаях в число определяющих параметров следует включить и коэффициент вязкого трения. Кроме того, эффект аккреции существенно зависит от характера и структуры магнитных полей у самой звезды и поля, вмороженного в выпадающее вещество.

В таком виде задача определения характера аккреции становится менее однозначной, и хотя соображения теории размерностей и здесь оказываются очень полезными, общие соотношения получить труднее. Но формулы (2.30) и (2.31) оказываются удобными и в этих случаях.

<< § 1.5 Мировые (фундаментальные) постоянные | Оглавление | § 2.2 Взаимодействие электромагнитного излучения и вещества >>

Мнения читателей [4]

Версия для печати

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце