Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу 		 

На первую страницу

ВВЕРХ: Введение

ДАЛЕЕ: Лазерные опорные звезды

3. Датчики волнового фронта

3.1. Требования к датчикам волнового фронта

Задача измерения искажений волнового фронта часто встречается в оптике (например, при изготовлении и испытании зеркал для телескопов), и обычно решается с помощью интерферометров. Почему бы не использовать стандартные лазерные интерферометры в датчиках волнового фронта (WFS) для адаптивной оптики?

Во-первых, система адаптивной оптики должна использовать свет звезд, проходящий сквозь турбулентную атмосферу, чтобы измерять волновые фронты, и следовательно, использовать некогерентные (а часто и неточечные) источники. Даже лазерные опорные звезды недостаточно когерентны, чтобы работать в обычных интерферометрах. WFS должны работать с некогерентными источниками белого света.

Во-вторых, интерференционные узоры хроматичны. Мы не можем позволить пропускать свет звезд через фильтр, так как мы хотим использовать слабые звезды. WFS должны очень эффективно использовать фотоны.

В-третьих, интерферометры определяют фазу с неопределенностью в $2\pi$, в то время как атмосферные искажения фазы обычно превосходят $2\pi$. WFS должны обладать линейностью во всем диапазоне атмосферных искажений. Существуют алгоритмы для "развертывания" фазы, позволяющие устранить эту неопределенность, но они работают медленно, а атмосферная турбулентность изменяется быстро, с характерным временем в миллисекунды: WFS должны быть быстрыми.

Этим требованиям удовлетворяют несколько существующих принципов устройства WFS. Каждый WFS состоит из следующих основных компонентов:

Generic WFS

Aliasing illustration Не стоит говорить, что любой реальный WFS имеет конечное пространственное разрешение, которое должно соответствовать размеру корректирующих элементов (то есть расстоянию между актуаторами в деформируемом зеркале). Искажения волнового фронта с меньшими размерами не должны восприниматься. Однако, они влияют на сигнал WFS, вызывая так называемую ошибку совмещения (подобно ошибке совмещения во временных сигналах с конечной дискретизацией, смотри рисунок). Спектр турбулентности уменьшается к высоким пространственным частотам, поэтому ошибка совмещения часто мала по сравнению с другими ошибками адаптивной оптики, в частности с ошибкой аппроксимации.

3.2. Датчики волнового фронта Шэка-Гартмана

Shack-Hartmann WFS

Хорошо известный тест Гартмана, первоначально разработанный для испытания оптики телескопов, был применен в адаптивной оптике в наиболее распространенном типе WFS. Изображение выходного зрачка проектируется на массив линз - двумерную решетку из маленьких одинаковых линз. Каждая линза занимает малую часть апертуры, называемую субзрачком, и строит изображение источника. Все изображения строятся на одном детекторе, обычно на ПЗС.

Когда входящий волновой фронт плоский, все изображения расположены в правильном порядке, определяемом геометрией массива линз. Когда волновой фронт искажается, изображения смещаются от своих заданных положений. Смещение центроида изображения в двух перпендикулярных направлениях $x,y$ пропорциональны средним наклонам волнового фронта по $x,y$ в субапертурах. Таким образом, WFS Шэка-Гартмана (S-H WFS) измеряет наклоны волнового фронта. Сам волновой фронт восстанавливается по массиву измеренных наклонов, с точностью до постоянной, которая не играет роли при построении изображения. Разрешение S-H WFS равно размеру субапертуры.

Вопрос: Каков максимальный угловой размер источника, при котором начнут перекрываться изображения от соседних субапертур? Возьмите размер линзы 0.5 мм и фокальное расстояние 50 мм. Подходит ли такой массив линз для системы адаптивной оптики с размером субапертуры $d$=1 м?

Вопрос: Оцените среднеквадратичные наклоны волновых фронтов на субапертурах как функцию размера субапертуры $d$ и $r_0$ (используйте коэффициенты атмосферных наклонов из раздела 1.10). Вычислите для $d$=1 м и качества изображения 1 секунда.

Преимущество S-H WFS в том, что он полностью ахроматичен, наклоны не зависят от длины волны. Он также может работать с неточечными (протяженными) источниками. Если $\phi(\vec{r})$ - это фаза волнового фронта, то наклон по x, измеряемый S-H WFS, вычисляется как


\begin{displaymath} x = \frac{\lambda}{ 2 pi S} \int_{sub-aperture} \frac{\partial \phi(\vec{r})}{\partial r_x} \; {\rm d}\vec{r}, \end{displaymath} (1)

где $S$ - площадь субапертуры. Наклоны по x,y оцениваются по смещению центроидов изображений (центров тяжести), как


\begin{displaymath} x = \frac{\sum_{i,j} x_{i,j}I_{i,j}}{\sum_{i,j} I_{i,j}} \;\... ...;\; y = \frac{\sum_{i,j} y_{i,j}I_{i,j}}{\sum_{i,j} I_{i,j}}, \end{displaymath} (2)

где $I_{i,j}$ - это интенсивности света на пикселах детектора. Предполагается, что координаты x,y выражены в радианах (это можно сделать, зная масштаб изображения на детекторе).

Photon noise of centroid Теперь можно оценить ошибку определения наклона из-за фотонного шума. Пусть $\beta$ радианов - это радиус изображения, формируемого каждой субапертурой. Для протяженных источников $\beta$ равно размеру источника (точнее, дисперсии распределения интенсивности вокруг центра). Для точечных источников $\beta=\lambda/d$ если субапертуры меньше, чем $r_0$ (изображения, ограниченные дифракцией), или $\beta = \lambda/r_0$ для больших субапертур (размер изображения определяется атмосферным дрожанием). Распределение интенсивности в изображении можно рассматривать как распределение плотности вероятности приходящих фотонов. Следовательно, каждый приходящий фотон позволяет определить положение изображения с ошибкой $\beta$. Если $n$ фотонов зарегистрированы за время экспозиции, фотонная ошибка положения центроида (т.е. наклона) будет равна $\beta/\sqrt{n}$, как после повторения измерения $n$ раз.

В фотометрическом диапазоне R (длина волны около 600 нм), где чувствительность современных детекторов максимальна, звезда 0 величины дает поток в 8000 фотонов в секунду на квадратный сантиметр на нанометр полосы пропускания (эффективная полоса пропускания может для хорошего ПЗС достигать 300 нм). Для звезды величины m поток уменьшится в $10^{-0.4m}$ раз. При вычислении потока, доступного детектору WFS, необходимо принять во внимание оптическое пропускание.

Вопрос: Вычислите количество фотонов, зарегистрированных за экспозицию в 1 мс в субапертуре 1 м от звезды 15-й величины. Принять полное пропускание 0.3 и квантовую эффективность 0.6.

Общепринято выражать все ошибки волнового фронта в радианах. Мы умножим ошибку наклона на $\frac{2\pi}{\lambda} d$, чтобы получить дисперсию различия фазы между краями субапертуры в квадратных радианах:


\begin{displaymath} \langle \epsilon_{\rm phot}^2 \rangle = \frac{4 \pi^2}{n} \left( \frac{ \beta d}{\lambda} \right) ^2. \end{displaymath} (3)

Будьте осторожны при использовании этой формулы: здесь $\lambda$ - длина волны, на которой система адаптивной оптики строит изображение, в то время как размер изображения $\beta$ необходимо вычислить для длины волны, на которой работает датчик волнового фронта, а она может быть другой.

Вопрос: Сколько фотонов необходимо накопить, чтобы добиться фотонной ошибки в 1 радиан в S-H WFS с $d = 3 r_0$? Принять, что получение изображения и исследование волнового фронта осуществляются на одной длине волны.

Ошибка восстановления волновых фронтов пропорциональна $\langle \epsilon_{\rm phot}^2 \rangle$ с коэффициентом, называемым распространение шума. Известно, что для S-H WFS распространение шума порядка единицы и лишь немного увеличивается с количеством элементов (наклоны интегрируются реконструктором, поэтому шум не усиливается).

Фотонный шум пропорционален квадрату размера субапертуры $d$. Это означает, что для данного $\beta$, фотонная ошибка S-H WFS не зависит от размера его субапертуры. Этот вывод верен только для идеального детектора; в реальных системах с ПЗС (например, NAOS на VLT) для более слабых опорных звезд используются большие субапертуры.

Quad-cell Сколько пикселов в детекторе должно быть отведено на каждую субапертуру? Чтобы точно вычислить положение центроидов, каждое индивидуальное изображение должно строиться достаточно детально, и на каждую субапертуру необходимо более 4х4 пикселов. Однако каждый пиксел ПЗС приемника дает шум считывания, который для слабых опорных звезд доминирует в фотонном шуме. Поэтому в некоторых конструкциях (например, Altair для Джемини-Север) на каждую субапертуру приходится только 2х2 пиксела. В этом случае каждый элемент работает как квадратная ячейка, и наклоны по x,y вычисляются из отношений интенсивности:


\begin{displaymath} x \approx \frac{\beta}{2} \; \frac{I_1 +I_2 - I_3 - I_4}{I_1... ...beta}{2} \; \frac{I_2 +I_3 - I_1 - I_4}{I_1 +I_2 + I_3 + I_4}. \end{displaymath} (4)

Реакция детектора наклона с квадратной ячейкой линейна только для наклонов меньших, чем $\pm \beta/2$, коэффициент реакции пропорционален $\beta$ (и поэтому может изменяться, в зависимости от качества изображения или размера объекта). Это цена, которую нужно заплатить за увеличение чувствительности, которая имеет первостепенное значение для астрономов.

Вопрос: Какой должна быть форма изображения опорной звезды, чтобы добиться в точности линейной кривой реакции квадратной ячейки?

S-H WFS широко распространены, так как они основаны на проверенной технологии и богатом опыте, компактны и стабильны. Эти WFS требуют калибровки номинального положения пятна, которая производится при получении изображения искусственного точечного источника.

3.3. Датчики искривления

Метод измерения искривления волнового фронта разрабатывался Ф.Роддиером с 1988 г. Его идея состояла в непосредственном соединении биморфного зеркала с датчиком искривления (CS), при котором отпадет необходимость в промежуточных вычислениях (хотя это так и не было осуществлено).

Curvature sensing

Пусть $I_1(\vec{r})$ - распределение интенсивности света в предфокальном изображении звезды, расфокусированном на некоторое расстояние $l$, а $I_2(\vec{r})$ - соответствующее распределение интенсивности в зафокальном изображении. Здесь $\vec{r}$ - координата в плоскости изображения и $F$ - фокусное расстояние телескопа. Два этих изображения - как бы изображения зрачка, уменьшенные с фактором $\frac{l}{F-l}$. В приближении геометрической оптики местные искривления волнового фронта делают одно изображение ярче, а другое слабее; нормализованную разницу интенсивностей можно записать как


\begin{displaymath} \frac{I_1(\vec{r}) -I_2(\vec{r})}{I_1(\vec{r}) +I_2(\vec{r})... ...triangledown^2 \phi \left( \frac{F \vec{r}}{l}\right) \right]. \end{displaymath} (5)

Оператор $\bigtriangledown^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$ называется лапласианом и используется для вычисления кривизны распределения фазы $\phi(\vec{x})$. Первый член в этом уравнении - это градиент фазы на краю апертуры (символически это записывается как частная производная по направлению, перпендикулярному краю, умноженная на "краевую функцию" $\delta_c$). CS ахроматичен (вспомните, что $\phi(\vec{x})$ обратно пропорционально $\lambda$). Хотя формула выглядит сложной, ее смысл ясен. Важным является то, что чувствительность CS обратно пропорциональна расфокусировке $l$.

Вопрос: Нарисуйте пары пред- и зафокальных изображений для аберраций Зернике от 2 до 6.

Для источника с конечным угловым размером $\beta$ пред- и зафокальные изображения размыты на величину $\beta(F-l)$. Размытие должно быть меньше проекции размера субапертуры $d$:


\begin{displaymath} \beta (F-l) < \frac{l}{F}d \end{displaymath} (6)

Расфокусировка всегда намного меньше фокусного расстояния $F$, следовательно, условие минимальной расфокусировки имеет вид: