Астронет > Векторный анализ

по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод по каталогу

На сайте

Астрометрия

Астрономические инструменты

Астрономическое образование

Астрофизика

История астрономии

Космонавтика, исследование космоса

Любительская астрономия

Планеты и Солнечная система

Солнце

Векторный анализ
3.12.2001 0:00 | "Физическая Энциклопедия"/Phys.Web.Ru

Векторный анализ - раздел математики, в котором изучаются скалярные и векторные поля и различные операции с ними. Скалярное поле сопоставляет каждой точке (3-мерного) пространства некоторое (действительное) число ( $\varphi=\varphi(r)$ , а векторное поле - некоторый вектор (a=a(r)). Если точка задается своими декартовыми координатами, $r=\{x_1, x_2, x_3\}$ а вектор - своими компонентами $a=\{a_1, a_2, a_3\}$ , то градиент скалярного поля, дивергенция и ротор векторного поля выражаются формулами:
$(\mathrm{grad}\ \varphi)_i={\displaystyle{\partial \varphi} \over \displaystyle{\partial x_i}}$ , $\mathrm{div}\ a={\displaystyle{\partial a_{1}} \over \displaystyle{\partial x_{1}}}+{\displaystyle{\partial a_{2}} \over \displaystyle{\partial x_{2}}}+{\displaystyle{\partial a_{3}} \over \displaystyle{\partial x_{3}}}$

$\mathrm{rot}\ a=\{{\displaystyle{\partial a_3} \over \displaystyle{\partial x_2}}-{\displaystyle{\partial a_2} \over \displaystyle{\partial x_3}},{\displaystyle{\partial a_1} \over \displaystyle{\partial x_3}}-{\displaystyle{\partial a_3} \over \displaystyle{\partial x_1}},{\displaystyle{\partial a_2} \over \displaystyle{\partial x_1}}-{\displaystyle{\partial a_1} \over \displaystyle{\partial x_2}} \}$

Градиент, дивергенцию и ротор удобно выражать с помощью символического вектора $\nabla$ (набла), компонентами которого являются операторы дифференцирования по координатам, $\nabla = \{{\displaystyle{\partial} \over \displaystyle{\partial x_1}},{\displaystyle{\partial} \over \displaystyle{\partial x_2}}, {\displaystyle{\partial} \over \displaystyle{\partial x_3}} \}$ Действуя этим символическим вектором на скалярные и векторные поля по правилам векторной алгебры, получим:
$\mathrm{grad}\ \varphi =\nabla \varphi$ , $\mathrm{div}\ a = (\nabla a)$ , $\mathrm{rot}\ a = [\nabla a]$

Скалярный квадрат вектора у представляет собой Лапласа оператор, или лапласиан, который обозначается $\Delta$ :
$\Delta=\nabla^2={\displaystyle{\partial ^{2}} \over \displaystyle{\partial x_1^2}}+{\displaystyle{\partial ^2} \over \displaystyle{\partial x_2^2}}+{\displaystyle{\partial ^2} \over \displaystyle{\partial x_3^2}}$

Формальное применение правил векторной алгебры к вектору $\nabla$ приводит к ряду соотношении между градиентом, дивергенцией и ротором, например,
$[\nabla(\nabla\varphi)]=0$ , или $\mathrm{rot}\ \mathrm{grad}\ \varphi=0$ ;
$(\nabla[\nabla\alpha])=0$ , или $\mathrm{rot}\ \mathrm{grad}\ \alpha=0$ ;
$[\nabla[\nabla\alpha]]=\nabla(\nabla\alpha)-\nabla^2 a$ ,
или $\mathrm{rot}\ \mathrm{rot}\ a=\mathrm{grad}\ \mathrm{div}\ a - \Delta a$
При такого рода формальных преобразованиях необходимо следить, чтобы дифференциальный оператор $\nabla$ в окончательном выражении стоял слева от той функциии, на которую он действует. Если оператор $\nabla$ действует на произведение двух функций, то по правилу Лейбница (правило дифференцирования произведения) можно записать результат в виде суммы двух членов:
$\nabla(\varphi \psi)=\varphi \nabla \psi+\psi \nabla \varphi$ ,
или
$\mathrm{grad}\ (\varphi \psi)=\varphi \ \mathrm{grad}\ \psi+\psi \ \mathrm{grad}\ \varphi$ ,
Сочетая правило Лейбница с правилами векторной алгебры, можно получать соотношения такого типа:
$(\nabla (a\varphi))=\varphi(\nabla a)+(a \nabla \varphi)$
или
$\mathrm{div}\ (a \varphi))=\varphi \ \mathrm{div}\ a + a \ \mathrm{grad}\ \varphi$
В случае более сложных алгебраических выкладок па промежуточных этапах следует отмечать стрелкой ту функцию, на которую действует оператор $\nabla$ , не заботясь о порядке следования оператора и функций, и лишь на последнем этапе возвращаться к обычному порядку:
$[\nabla (a \varphi)]=[\nabla\check{a}\varphi]+[\nabla a \check{\varphi}]=\varphi [\nabla a]-[a \nabla \varphi]$
или
$\mathrm{rot}\ (a \varphi)=\varphi \ \mathrm{rot}\ a -[a \ \mathrm{grad} \ \varphi]$
Таким образом, получаем:
$\mathrm{div}\ [ab]=b \ \mathrm{rot}\ a-a \ \mathrm{rot}\ b$ ,
$rot[ab]=a \ \mathrm{div}\ b - b \ \mathrm{div}\ a + (b \nabla) a - (a \nabla)b$ ,
$\mathrm{grad}\ (ab)=[a \ \mathrm{rot}\ b] + [b \ \mathrm{rot}\ a] + (b \nabla) a + (a \nabla)b$
Все основные дифференциальные операции векторного анализа имеют определенный смысл, поэтому значения выражений $\mathrm{grad}\ \varphi$ , div a, rota не зависят от выбора системы координат. Все соотношения между дифференциальными выражениями также носят инвариантный характер.

В приложениях часто встречаются поток вектора через заданную поверхность и интеграл от него вдоль заданной кривой:
$\int_{S}a \ dS=\int_{S}a_n \ dS=\int_{s}(a_1 \ dx_2 \ dx_3+a_2 \ dx_3 \ dx_1+a_3 \ dx_1 \ dx_2)$ ,
$\int_{L}a \ dr=\int_{L}a_{\tau} \ dl=\int_{L}(a_1 \ dx_1+a_2 \ dx_2+a_3 \ dx_3)$
Здесь $a_n=(an)$ - проекция вектора a на нормаль к поверхности в данной точке, $a_{\tau}=(a\tau)$ -проекция его на единичный вектор $\tau$ , касательный к кривой, dS - элемент площади поверхности, dl - элемент длины кривой. Пусть a - распределение скоростей движущейся жидкости, тогда первый интеграл равен объему жидкости, пересекающей данную поверхность в единицу времени. Если a - силовое поле, то второй интеграл равен работе, совершаемой при перемещении пробного тела вдоль данной кривой. В случае замкнутой кривой такой интеграл называется циркуляцией векторного поля.

Эти интегралы фигурируют в основных теоремах векторной алгебры - Гаусса - Остроградского формуле и Стокса формуле:
$\oint_{\partial V}a_n \ dS=\oint_{V}\mathrm{div}\ a \ dV$ , $\oint_{\partial S}a \ dr=\oint_{S}(\mathrm{rot}\ a)_{n} \ dS$ .
Здесь $\partial V$ - поверхность, являющаяся границей области V, а $\partial S$ - кривая, ограничивающая поверхность S. Кружки на значках интегралов означают, что интегрирование ведется по замкнутой поверхности и замкнутой кривой. Положительное направление нормали к поверхности S должно быть ориентировано относительно направления обхода контура $\partial S$ так же, как положительное направление оси x₃ - относительно положительного направления вращения в плоскости x₁, x₂. Полагая в формуле Гаусса-Остроградского $a=\psi \mathrm{grad}\ \varphi$ , получим важную теорему Грина $\oint_{\partial V}\psi (\mathrm{grad}\ \varphi)_n dS= \int_{V}\{(\psi\Delta\varphi +(\mathrm{grad}\ \psi \ \mathrm{grad}\ \varphi)\} \ dV$
Ее следствием является формула
$\oint_{\partial V}(\psi \ \mathrm{grad}\ _n \ \varphi - \varphi \ \mathrm{grad}\ _n \psi) \ dS= \int_{V}(\psi\Delta\varphi - \varphi \Delta \psi) \ dV$
Другие интегральные теоремы можно получить как следствия уже сформулированных:
$\oint_{\partial S} \varphi \ dr= \oint_{S} [n \ \mathrm{grad}\ \varphi] \ dS$ ,
$\oint_{\partial V} \varphi \ n \ dS= \oint_{V} \mathrm{grad}\ \ \varphi \ dV$
$\oint_{\partial V} [na] dS= \oint_{V} \mathrm{rot}\ a \ dV$
Понятия векторного анализа, определенные выше для евклидова пространства, можно обобщить на риманово пространство и другие многообразия. Дифференциальные операции приводят к понятию ковариантной производной, интегральные теоремы формулируются на языке дифференциальных форм.

Глоссарий Astronet.ru

Публикации с ключевыми словами: векторный анализ - вектор - векторные операторы Публикации со словами: векторный анализ - вектор - векторные операторы
См. также: Векторный анализ

Мнение читателя [1]

Версия для печати