Вариационное исчисление
15.11.2001 0:00 | СОЖ, Москва
Вариационное исчисление - раздел математики, обобщающий элементарную теорию экстремума функций. В вариационном исчислении речь идет об экстремуме функционалов - величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций f1, f2, . . . fm, которые играют для функционала F[f1, f2, . . . fm] роль аргументов. Аналогично тому, как в задаче об экстремуме функции f(x1, x2, ...., xn) необходимо указать область G изменения ее аргументов, для функционала следует задать класс допустимых функциональных аргументов (например, класс функии, непрерывных вместе с первыми производными в области D и удовлетворяющих некоторым условиям на границе D). Если задача об экстремуме непрерывной функции всегда имеет решение (такая функция достигает экстремальных значений внутри G или на ее границе), то существование экстремума функционала для данного класса функциональных аргументов не гарантировано априори и требует каждый раз особого исследования. Одну из первых задач вариационного исчисления сформулировал И. Бернулли (J. Bernoulli) в 1696, окончательно вариационное исчисление сформировалось в 18 веке благодаря работам Л. Эйлера (L. Euler).
Необходимым условием экстремума
функции f(x) в точке x(0)=(x10..
. , xn0)
является равенство нулю ее производной по
любому направлению a=(a1, .. .an):
т.е.
Малому
смещению аргумента для функционала соответствует
вариация (отсюда название вариационное исчисление)
функций:
где - функции из допустимого класса, обращающиеся
в нуль на границе D. Аналогом производной
по направлению служит первая вариация функционала:
,
где определяемая последней формулой вариационная,
или
функциональная производная , является аналогом
градиента .
Необходимое условие экстремума функционала
следует из основной леммы
вариационного исчисления: если
для всех функций из допустимого класса,
обращающихся в нуль на границе D,
то непрерывная функция .
На практике функционал F задается в виде интеграла
по области D от некоторой комбинации функций
f1 ... fn,
и их производных; в простейших случаях
Вычисление функциональной производной приводит
к Эйлера-Лагранжа уравнениям - системе
дифференциальных
уравнений
,
j=1, ...., m
с соответствующими граничными условиями.
Решения этой системы называется экстремалями функционала F. Экстремаль соответствует минимуму F при выполнении условия Лежандра [обобщающего требование неотрицательности квадратичной формы , гарантирующего минимум функции f(x)] Согласно этому условию, всюду на экстремали должна быть неотрицательна квадратичная форма с коэффициентом (в простейшем случае одномерной области D, когда ).
До сих пор шла речь о вариационных задачах, в которых допустимый функциональный
аргумент подчинялся лишь
граничным условиям. В более общей постановке задачи требуется найти экстремали
функционала F с дополнительными условиями,
налагаемыми на функциональные
аргументы во всей области D их определения. Эти условия могут
быть интегральными:
или алгебраическими: .
В обоих случаях задача сводится к обычной введением множителей
Лагранжа .
В первом случае переходят к новому функционалу
решают уравнения Эйлера-Лагранжа, а множитель
находят из условия К=0 на
экстремали. Во втором случае вводят новый функционал
и неизвестную функцию находят из уравнений
Эйлера-Лагранжа.
Вариационное исчисление используют в различных областях физики. Фактически все законы, формулируемые обычно в локальном дифференциальном виде, можно сформулировать на вариационном языке. Фундаментальным примером является наименьшего действия принцип в классической механике. Здесь роль переменной х играет время t, меняющееся в заданном интервале [а, b], функциональными аргументами являются обобщенные координаты qj(t), а называемый действием функционал задается Лагранжа функцией . Согласно принципу наименьшего действия, движение с заданными граничными условиями для qj(a) и qj(b) осуществляется по экстремали функционала S. В физике используют также другие вариационные принципы.
В задаче о движении материальной точки во внешнем поле можно интересоваться только формой траектории без детального знания временной зависимости q(t). В этом случае используется принцип минимизации укороченного действия, или принцип Мопертюи: при задании потенциальной энергии U, полной энергии Е, начальных и конечных точек траектории вся траектория определяется минимизацией функционала где dl - элемент длины траектории, a qi и qf - начальная и конечная ее точки. Принцип Мопертюи является следствием принципа наименьшего действия и допускает обобщение на сложные механические системы.
Аналогом принципа Мопертюи в оптике служит принцип наименьшего времени Ферма: в среде с переменным показателем преломления n траектория луча света такова, что интеграл минимален. Иначе говоря, луч света избирает себе траекторию, для прохождения которой требуется минимальное время.
Последний пример - вариационный принцип Ритца в квантовой механике. Задачу о решении уравнения Шpeдингера можно сформулировать как задачу о минимизации функционала при дополнительном условии (здесь q-набор обобщенных координат). Принцип Ритца - незаменимое орудие расчета сложных атомов и ядер, когда точное решение уравнения Шредингера невозможно и задачу решают минимизацией функционала J на некотором классе пробных функций.
Публикации с ключевыми словами:
вариационное исчисление - функционал - экстремум - математика
Публикации со словами: вариационное исчисление - функционал - экстремум - математика | |
См. также:
|